矩阵
矩阵就是一种几行几列的一组数，例如下面就是一个三行两列的矩阵
( 1 3 5 2 0 4 ) \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \\ 0 &4 \end{pmatrix} ⎝⎛150324⎠⎞
矩阵的运算
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矩阵的乘法
矩阵相乘的要求是第一个矩阵的列数一定要等于第二个矩阵的行数， m × n m\times n m×n 的矩阵与 n × p n\times p n×p 的矩阵相乘，最终得到 m × p m\times p m×p 的矩阵。
新矩阵的结果，比如新矩阵的第二行第三列的值，等于第一个矩阵的第二行乘以第二个矩阵的第三列，然后相加得到的和。
( 1 3 5 2 0 4 ) ( 3 6 9 4 2 7 8 3 ) = ( 9 27 33 13 19 44 61 26 8 28 32 12 ) \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 6 & 9 & 4 \\ 2 & 7 & 8 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 27 & 33 & 13 \\ 19 & 44 & 61 & 26 \\ 8 & 28 & 32 & 12 \end{pmatrix} ⎝⎛150324⎠⎞(32679843)=⎝⎛9198274428336132132612⎠⎞
矩阵与向量相乘，可以将向量当成一个 m × 1 m\times 1 m×1 的矩阵。 -
矩阵的转置
矩阵的转置就是将行和列对换，如：
( 1 2 3 4 5 6 ) T = ( 1 3 5 2 4 6 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} ^ T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} ⎝⎛135246⎠⎞T=(123456)
矩阵转置的性质：
矩阵相乘的转置，等于转置后的两个矩阵反过来相乘：
( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT -
单位矩阵
单位矩阵也有很多维，但是单位矩阵与其他矩阵相乘不会进行任何操作，还是等于原来的矩阵。
I 3 × 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) I_{3\times3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} I3×3=⎝⎛100010001⎠⎞
但是单位矩阵可以引出逆矩阵的性质：
如果一个矩阵与另一个矩阵相乘等于单位矩阵，那么我们说这两个矩阵互为逆矩阵。
A A − 1 = A − 1 A = I AA^{-1}=A^{-1}A=I AA−1=A−1A=I
逆矩阵的性质：
( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1 -
向量乘法用矩阵的形式表示
- 点乘
a ⃗ ⋅ b ⃗ = a ⃗ T b ⃗ = ( x a y a z a ) ( x b y b z b ) = ( x a x b + y a y b + z a z b ) \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}^T \vec{b} = \begin{pmatrix} x_a & y_a & z_a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}=(x_ax_b+y_ay_b+z_az_b) a⋅b=aTb=(xayaza)⎝⎛xbybzb⎠⎞=(xaxb+yayb+zazb) - 叉乘
a ⃗ × b ⃗ = A ⃗ ∗ b ⃗ = ( 0 − z a y a z a 0 − x a − y a x a 0 ) ( x b y b z b ) \vec{a} \times \vec{b} = \vec{A}^* \vec{b} =\begin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} a×b=A∗b=⎝⎛0za−ya−za0xaya−xa0⎠⎞⎝⎛xbybzb⎠⎞
这里的 A ⃗ ∗ \vec{A}^* A∗是一个矩阵，不是 A ⃗ ∗ b ⃗ \vec{A}*\vec{b} A∗b。