0-1 背包问题（动态规划）

一、问题描述：

给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。

二、解决方法

j：表示当前背包的容量

V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值

           j < w[i] ，背包容量不足以放下第 i 件物品，不拿  ：m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

           j>=w[i] ，包容量可以放下第 i 件物品，考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

           若拿，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。

         m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

          若不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

           是比较这两种情况那种价值最大，决定是否拿。

        由此可以得到状态转移方程：

if(j>=w[i])
    m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
else
    m[i][j]=m[i-1][j];

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

int max(int a,int b)
{
	return a>b?a:b;
}
int fun(vector<int>&w,vector<int>&v,int n,int m)
{
	vector<vector<int>> s1(n+1,vector<int>(m+1));
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		for(int j=m;j<=n;j++)
		{
			if(j>=w[i])
			{
				s1[i][j]=max(s1[i-1][j-w[i]+v[i]],s1[i-1][j]);
			}
			else
			{
				s1[i][j]==s1[i-1][j];
			}
		}
	}
	return s1[n][m];
}

int main()
{
	int m,n;
	cin>>n;
	vector<int> w(n+1);
	vector<int> v(n+1);
	int tmp;
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		cin>>tmp;
		v[i]=tmp;
	}
	for(int i=1;i<tmp;i++)
	{
		cin>>tmp;
		w[i]=tmp;
	}
	cin>>m;
	cout<<fun(w,v,n,m);
}

参考：https://blog.csdn.net/qq_38410730/article/details/81667885