集合论—笛卡尔积与二元关系

笛卡尔积

笛卡尔积的定义

设 $A$、 $B$为集合，用 $A$中的元素作为第一元素， $B$中的元素作为第二元素，构成有序对。所有这样的有序对组成的集合称作 $A$和 $B$的笛卡尔积，记作 $A×B$. $A×B=\{<x,y>|x\in A, y\in B\}$由排列组合关系可知，若 $A$中有 $m$个元素， $B$中有 $n$个元素，则 $A×B$或 $B×A$中有 $mn$个元素。

例如，若 $A=\{a,b\}$， $B=\{0,1,2\}$，则
$A×B=\{<a,0>, <a,1>, <a,2>, <b,0>,<b,1>,<b,2>\}$ $B×A=\{<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>\}$

用图表表示：

集合A	值		集合B	值
元素一	a		元素一	0
元素二	b		元素二	1
			元素三	2

则可得：

$A×B$	第一元素(A)	第二元素(B)
$<a,0>$	a	0
$<a,1>$	a	1
$<a,2>$	a	2
$<b,0>$	b	0
$<b,1>$	b	1
$<b,2>$	b	2

$n$阶笛卡尔积：
设 $A_1,A_2,...,A_n$( $n\geqslant 2$)是集合，它们的 $n$阶笛卡尔积记作 $A_1×A_2×,...,×A_n$，其中 $A_1×A_2×,...,×A_n=\{<x_1,x_2,...,x_n>|x_1\in A_1\lor x_2\in A_2\lor...\lor x_n\in A_n\}$当 $A_1=A_2=...=A_n$时，可将它们的 $n$阶笛卡尔积简记为 $A^n$
例如， $A=\{a,b\}$，则 $A^3=\{<a,a,a>,<a,a,b>,<a,b,a>,<a,b,b>,<b,a,a>,<b,a,a>,<b,b,a>,<b,b,b>\}$

笛卡尔积运算的性质：

1. 若 $A$、 $B$中有一个空集，则它们的笛卡尔积是空集，即 $\emptyset ×B = A ×\emptyset = \emptyset$
2. 当 $A\neq B$且 $A$、 $B$都不是空集时，有 $A×B\neq B×A$
3. 当 $A$、 $B$、 $C$都不是空集时，有 $(A×B)×C\neq A×(B×C)$
4. 笛卡尔积运算对交和并满足分配律 $A×(B\cup C) = (A×B)\cup(A×C)$ $(B\cup C)×A=(B×A)\cup(C×A)$ $A×(B\cap C) = (A×B)\cap(A×C)$ $(B\cap C)×A=(B×A)\cap(C×A)$

有序对、有序 $n$元组、元素的定义

有序对：
由两个元素 $x$和 $y$按一定的顺序排列成的二元组称作一个有序对或序偶，记作 $<x,y>$，平面直角坐标系中的坐标就是一个典型的有序对。
有序对的特征：

1. 当 $x \neq y$时， $<x,y>\neq <y,x>$
2. 两个有序对相等( $<x,y>=<u,v>$)的充分必要条件是 $x=u$且 $y=v$.

有序 $n$元组：
一个有序 $n$元组( $n\geqslant 3$)是一个有序对，其中第一个元素是一个有序 $n-1$元组，一个有序 $n$元组记作 $<x_1,x_2,...,x_n>$，即 $<x_1,x_2,...,x_n>=<<x_1,x_2,...,x_{n-1}>,x_n>$

元素：
在一个有序对 $<x,y>$中， $x$是有序对的第一元素， $y$是有序对的第二元素。

二元关系

定义一：
如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对，则称这个集合是一个二元关系，一般记作 $R$。对于二元关系 $R$，若 $<x,y>\in R$，则记作 $xRy$；若 $<x,y>\notin R$，则记作 $x\not R y$

定义二：
设 $A$、 $B$为集合， $A×B$的任何子集所定义的二元关系称作从 $A$到 $B$的二元关系，特别当 $A=B$时，则称作 $A$上的二元关系

关系上的计数及特殊关系：

通常集合 $A$上不同关系的数目依赖于 $A$的基数(即集合中元素的个数)，若 $|A|=n$，那么 $|A×A|=n^2$， $A×A$的子集有 $2^{n^2}$个。

$A×A$上的每一个子集就代表一个 $A$上的关系，即表示 $A$上有 $2^{n^2}$个不同的二元关系，其中有三种特殊的关系，假设有集合 $A=\{1,2\}$，则

1. 空关系 $\emptyset=\{\emptyset\}$
2. 全域关系 $E_A=\{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>\}$
3. 恒等关系 $I_A=\{<1,1><2,2>\}$

关系矩阵和关系图：

设 $A=\{x_1,x_2,...,x_n\}$， $R$是 $A$上的关系，令 $r_{ij}= \begin{cases} 1, & \text{if $x_iRx_j$} \\ 0, & \text{if $x_i\not{R} x_j$} \end{cases}$则 $R$的关系矩阵为： $(r_{ij})= \begin{bmatrix} r_{11}&r_{12}&\cdots&r_{1n}\\ r_{21}&r_{22}&\cdots&r_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ r_{n1}&r_{12}&\cdots&r_{1n}\\ \end{bmatrix}$
设 $V$是一个顶点集， $E$是一个有向边集，令 $V=A={x_1,x_2,...,x_n}$。若 $x_i R x_j$，则 $x_i$到 $x_j$的有向边 $<x_i,x_j>\in E$，那么 $G=<V,E>$就是 $R$的关系图。