关系的求逆与闭包
关系的求逆
R 是 A 到 B 的 关 系 ， R c ( 或 记 为 R − 1 ) = { < y , x > ∣ < x , y > ∈ R } R是A到B的关系，R^c(或记为R^{-1})=\{<y,x> | <x,y>\in R\} R是A到B的关系，Rc(或记为R−1)={
<y,x>∣<x,y>∈R}
根 据 定 义 ， R c 是 将 R 中 所 有 两 个 序 偶 的 位 置 互 换 R c 的 有 向 图 ： 是 将 R 的 有 向 图 的 所 有 边 的 方 向 颠 倒 R c 的 矩 阵 ： R 矩 阵 的 转 置 根据定义，R^c是将R中所有两个序偶的位置互换\\ R^c的有向图：是将R的有向图的所有边的方向\color{red}颠倒 \color{black}\\ R^c的矩阵：R矩阵的\color{red}转置 根据定义，Rc是将R中所有两个序偶的位置互换Rc的有向图：是将R的有向图的所有边的方向颠倒Rc的矩阵：R矩阵的转置
关系求逆运算的性质
( R c ) c = R ( R ∪ S ) c = R c ∪ S c ( R ∩ S ) c = R c ∩ S c ( R − S ) c = R c − S c R ⊂ S ⇔ R c ⊂ S c ( R ) c = R c R ⊆ X × Y ， S ⊆ Y × Z , 则 ( R ∗ S ) c = S c ∗ R c (R^c)^c=R\\ (R \cup S)^c=R^c \cup S^c\\ (R \cap S)^c=R^c \cap S^c\\ (R - S)^c=R^c - S^c\\ R \subset S \Leftrightarrow R^c \subset S^c\\ (~R)^c=~R^c\\ R\subseteq X×Y，S\subseteq Y×Z,则(R*S)^c=S^c*R^c (Rc)c=R(R∪S)c=Rc∪Sc(R∩S)c=Rc∩Sc(R−S)c=Rc−ScR⊂S⇔Rc⊂Sc( R)c= RcR⊆X×Y，S⊆Y×Z,则(R∗S)c=Sc∗Rc
关系的闭包
如果R不满足某关系，但是R’满足
r ( R ) ： 如 果 R ′ 是 包 含 R 的 最 小 自 反 关 系 ， 则 称 R ′ 是 R 的 自 反 闭 包 s ( R ) ： 如 果 R ′ 是 包 含 R 的 最 小 对 称 关 系 ， 则 称 R ′ 是 R 的 对 称 闭 包 t ( R ) ： 如 果 R ′ 是 包 含 R 的 最 小 传 递 关 系 ， 则 称 R ′ 是 R 的 传 递 闭 包 传 递 关 系 ： 如 果 a R b ， b R c ， 则 a R c , 建 立 一 条 a − > c 的 边 , 建 立 一 个 传 递 关 系 解 释 最 小 ： 如 果 有 另 一 个 关 系 R ′ ′ ( R ⊆ R ′ ′ ) , 则 R ′ ⊆ R ′ ′ r(R)：如果R'是包含R的最小自反关系，则称R'是R的自反闭包\\ s(R)：如果R'是包含R的最小对称关系，则称R'是R的对称闭包\\ t(R)：如果R'是包含R的最小传递关系，则称R'是R的传递闭包\\ \footnotesize 传递关系：如果aRb， bRc，则aRc,建立一条a->c的边,建立一个传递关系\\ \tiny 解释最小：如果有另一个关系R''(R\subseteq R'' ),则R'\subseteq R'' r(R)：如果R′是包含R的最小自反关系，则称R′是R的自反闭包s(R)：如果R′是包含R的最小对称关系，则称R′是R的对称闭包t(R)：如果R′是包含R的最小传递关系，则称R′是R的传递闭包传递关系：如果aRb，bRc，则aRc,建立一条a−>c的边,建立一个传递关系解释最小：如果有另一个关系R′′(R⊆R′′),则R′⊆R′′
闭包的计算方法
r ( R ) = R ∪ I A s ( R ) = R ∪ R c t ( R ) = R ∪ R 2 ∪ R 3 … … 特 别 的 : 如 果 A 是 有 限 集 合 ∣ A ∣ = n , 则 t ( R ) = R ∪ R 2 ∪ R 3 … … ∪ R n 此 外 还 可 基 于 关 系 矩 阵 使 用 W a r s h a l l 算 法 ， F l o y d 能 在 O ( n 3 ) 求 出 一 个 图 的 传 递 闭 包 。 r(R)=R \cup I_A \\ s(R)=R \cup R^c\\ t(R)=R \cup R^2 \cup R^3 ……\\ \tiny 特别的:如果A是有限集合|A|=n,则t(R)=R \cup R^2 \cup R^3 ……\cup R^n \\ 此外还可基于关系矩阵使用Warshall算法， Floyd能在O(n^3) 求出一个图的传递闭包。 r(R)=R∪IAs(R)=R∪Rct(R)=R∪R2∪R3……特别的:如果A是有限集合∣A∣=n,则t(R)=R∪R2∪R3……∪Rn此外还可基于关系矩阵使用Warshall算法，Floyd能在O(n3)求出一个图的传递闭包。