第四章 二元关系和函数 4.3 关系的性质

4.3 关系的性质

一个一个来，先来看自反关系：

注意：这里要求每一个点上都有环即可，不要求都是环。

例题：

可见其关系矩阵的特点是：主对角线元素全是1
关系图的特点是:图中每个顶点都有环

再来看反自反关系：

例题：

总结一下二者的性质：

注意：
存在既不是自反也不是反自反的关系。即有环但是不是每一个点都有环。

来看对称关系：

关系矩阵对称与否，跟主对角线上的元素没有关系。所以如果在关系中除了形如（a，a）型的元素，其他的每一个都有对称的另一半，那么就有对称关系。

例题：

关系矩阵的特点：是对称矩阵（沿主对角线对称）。
关系图的特点：如果两个顶点之间有边，一定是一对方向相反的边。

相应的我们来看反对称关系：

所以如果在关系中除了形如（a，a）型的元素，其他的每一个都没有对称的另一半，那么就有反对称关系。

例题：

关系矩阵的特点：关系矩阵不对称。
关系图的特点：如果两个顶点之间有边，一定是一条有向边。

解析：
和之前自反和反自反关系一样，因为对称与反对称关系中有“每一个都”的概念，所以可能存在关系既不是对称关系也不是反对称关系。

总结一下二者的性质：

这里我们要强调一点：
当关系中全为（a，a）型的元素时，该关系既是对称关系又是反对称关系。

最后来看传递关系：

简单来说符合传递关系有两个类型：
<1>若可传递则一定传递
<2>没有传递的条件基础

例题：

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总结：

再来看一些充分条件：

注意：
这里 $I_A$表示的是恒等关系。

第二条证明：

这里我主要说的是这些证明方法：
<1> 证明充要条件时，我们可以分别证明其必要性和充要性。必要性：利用结论推条件。 充要性：利用条件推结论。
<2>遇见不好直接证明的题，我们可以运用反证法。反条件推结论不成立。

对于证明充要性的方法我们再通过证明第五条来加强一下：

关系性质的保持：

练习1：
集合A={1,2，…，10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,x∈A,y∈A}具有下列哪些性质？

练习2：

练习3：
如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∩R2, R1∪R2, R1−R2中自反关系有()个?

练习4：
给定集合 A={1,2,3,4}，并且有 A 上的关系 R={<2,1>,< 3,1>,< 3,2>,<4,1>,<4,2>} 画出A的关系矩阵

以下是本人自创的方法：

$\begin{array}{c|lcr} & \text{1} & \text{2} & \text{3} \\ \hline 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 1 & 0 \end{array}$
因为集合A中有四个元素，所以我们再把矩阵补齐得：
$\begin{array}{c|lcr} & \text{1} & \text{2} & \text{3} & \text{4}\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 1 & 0& 0 \\ 4 & 1 & 1 & 0& 0 \end{array}$
所以最后A的关系矩阵为：
$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0& 0\\ 1 & 0 & 0& 0\\1 & 1 & 0& 0\\ 1 & 1 & 0& 0\end{bmatrix}$

练习5：
如果关系 R 和 S 都是自反的，关系R⊕S是反自反的吗？请给出证明。

练习6：
设 $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ 是集合 $X$的中的二元关系。证明如果 $R_1$⊆ $R_2$则下式成立：