4.4关系的闭包
简单来说就是对关系R添加尽可能少的元素得到
,使得
有自反/对称/传递的性质。则称
为R的自反闭包/对称闭包/传递闭包。
例题:
除了根据其概念特性直接推算出来,我们还可以用集合的运算来求:
其实这个就是我们刚才思路的具体化:
<1>
里的元素都是环,这已经是最小的有用元素的集合了。
<2>
里的元素是每条边的反方向边,没有冗余元素了。
<3>对其一个周期求并运算就可以使其满足传递且无多余元素。
例:
下边我们给出闭包的一些定理:
注意:
因为这里传递关系的自反闭包不一定能保持其传递性,所以我们要求一个关系的既满足自反,对称和传递闭包时应该最后求传递闭包。
除了用集合运算的方法来求闭包,我们还可以用矩阵的方法:
- = +
- = + ( 为 的转置矩阵)
- = + + + ……
练习1:
设集合A={1,2,3}上的关系,R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,< 3,3>},
则R的自反闭包r( R ) 具备下列哪些性质?
解:
依题得:r(R)= {<1,1>,<1,2>,<1,3>,< 3,3>,<2,2>}
所以其具有自反性,反对称性,传递性。
练习2:
练习3: