离散数学5：二元关系

有序对

笛卡尔积

注意：笛卡尔积是一个集合，其中元素都是有序对。可以符号化为： A × B = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ B } A\times B = \{<x, y>|x\in A\land y\in B \} A×B={ <x,y>∣x∈A∧y∈B}

性质：

• 如果A中有m个元素, B中有n个元素, 则A×B有mn个元素
• 任意集合与空集的笛卡尔积为空集
• 笛卡尔积不满足交换律 $A\times B\ne B\times A$ （不是空集的情况下）
• 笛卡尔积不满足结合律 $(A\times B)\times C\ne A\times (B\times C)$ （不是空集的情况下）
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二元关系

任意两个元素之间都存在着一种关系，这种关系可以用一个有序对来刻画。
对于一种关系，可能会有很多对元素都满足该关系，将所有满足该关系的元素对构成一个集合，这个集合就成了这种关系的显式表示。即：关系是一种集合。
二元关系主要是描述两个集合之间元素与元素的关系或者是一个集合内部元素之间的关系。

对于二元关系$R$，若元素x、y满足该关系，就意味着：$<x,y>\in R$，可以表示为$xRy$.
R = { < x 1 , y 1 > , < x 2 , y 2 > , < x 3 , y 3 > , . . . , < x n , y n > } R = \{<x_1, y_1>, <x_2, y_2>, <x_3, y_3>, ..., <x_n, y_n>\} R={ <x1​,y1​>,<x2​,y2​>,<x3​,y3​>,...,<xn​,yn​>}

笛卡尔积的任何子集均满足关系R的形式，因此笛卡尔积的任何子集均可定义为一种二元关系。

笛卡尔积$A\times B$描述的就是集合A与集合B元素之间所有的联系，其任何子集所定义的二元关系称为从A到B的二元关系，特别的，A=B时，称为A上的二元关系。

一些二元关系：

关系的运算

注意：复合运算不满足交换律，$F\circ G\ne G\circ F$
对复合运算的理解：如果把二元运算看成一种变换，$<x,y>\in R$可以解释为$x$通过$R$这种变换可以变为$y$, 则$F\circ G$就是x经过$F$，$G$连续两次变换。

以关系图的角度进行理解，$F\circ G$ 中的边即： $F$边+$G$边（注意顺序）所构成的长度为2的边。
$F^2$中的边即：图中距离为2的点之间的连线。

$F\circ G$不为空 $\iff$ $F$的值域与$G$的定义域的交集不为空。

一些等式

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关系的表示

关系矩阵

首先分别将关系定义域与值域中的元素编号为0，1，…， 若第$i$个元素与第$j$个元素满足该关系，则关系矩阵中元素$A_{ij}=1$，否则为0.

关系矩阵的性质：

• $M_{R^{-1}}={M_R}^T$
  即：逆运算的关系矩阵即原矩阵的转置
• $M_{R_1\circ R_2}=M_{R_1}{M}_{R_2}$
  即：复合运算的关系矩阵即两矩阵的乘积

注意：此处矩阵运算为布尔运算，即：

• 布尔加法： 0 + 0 = 0、0 + 1 = 1 + 0 = 1 + 1 = 1
• 布尔乘法： 1 · 1 = 1、0 · 1 = 1 · 0 = 0 · 0 = 0

关系图

关系$R$的集合表达式, 关系矩阵$M_R$, 关系图$G_R$, 三者均可以唯一相互确定.

关系的性质

设$R$是$A$上的关系：

• 自反性与反自反性

若$\forall x(x\in A\to <x,x>\in R)$，则称$R$在$A$上是自反的；
若$\forall x(x\in A\to <x,x>\notin R)$，则称$R$在$A$上是反自反的。

例如：$A$上的全域关系$E_A$、恒等关系$I_A$、小于等于关系、整除关系、包含关系都是自反的；小于关系、真包含关系不是自反的。

$I_A$是$A$上最小的自反关系; $E_A$是$A$上最大的自反关系.

$A$上的空关系∅、小于关系、真包含关系都是反自反的。

∅是$A$上最小的反自反关系; $E_A-I_A$是A上最大的反自反关系.

注意：一个关系不是自反的，并不代表它是反自反的。即自反与反自反之间互斥但不对立。
即关系图中一些结点有自环，一些结点无自环，则该关系既不自反，也不反自反。
（自反的对立关系为非自反）

• 对称性与反对称性

若$\forall x\forall y(x,y\in A\wedge <x,y>\in R\to <y,x>\in R)$，则称$R$为$A$上的对称的关系。（即$xRy$与$yRx$要么都没, 要么都有, 不能只有一个。有<a, b>就必须有<b, a>）
若$\forall x\forall y(x,y\in A\wedge <x,y>\in R\wedge <y,x>\in R\to x=y)$，则称$R$为$A$上的反对称的关系。（即$xRy$与$yRx$要么都没, 要么只有一个。有<a, b>就不能有<b, a>）

$A$上的全域关系$E_A$, 恒等关系$I_A$, 空关系∅都是对称的。

$A$上的恒等关系$I_A$, 空关系∅也是反对称的。

注意：一个关系不是对称的，并不代表它是反对称的。即对称与反对称之间互斥但不对立。
（对称的对立关系为非对称）

• 传递性与反传递性

若$\forall x\forall y\forall z(x,y,z\in A\wedge <x,y>\in R\wedge <y,z>\in R\to <x,z>\in R)$，则称$R$为$A$上传递的关系。
($xRy$和$yRz$要么就不同时存在，如果同时存在就一定得有$xRz$。)
若$\forall x\forall y\forall z(x,y,z\in A\wedge <x,y>\in R\wedge <y,z>\in R\to <x,z>\in R)$，则称$R$为$A$上传递的关系。
($xRy$和$yRz$要么就不同时存在，如果同时存在就一定没有$xRz$。)

如果这条路径是一个回路，那么这条路径上的每一个结点都应该有环，缺少一个环都不满足传递性。

例如$A$上的全域关系$E_A$、恒等关系$I_A$和空关系∅都是$A$上的传递关系。小于等于关系、真包含关系等也是相应集合上的传递关系。

空关系既是反自反, 对称, 反对称, 传递的, 反传递的, 唯独不是自反的。

集合中含有恒等元素，则该关系一定不满足反传递性。

• 若$R$在$A$上是反自反和可传递的, 则$R$必是反对称的
• 

性质的证明

证明方法通常是利用定义证明。

关系的闭包

关系$R$的闭包分为三类：自反闭包$r(R)$、对称闭包$s(R)$、传递闭包$t(R)$。
定义为：

闭包的构造

设$R$为$A$上的关系，则：

• $r(R)=R\cup R^0=R\cup I_A$
• $s(R)=R\cup R^{-1}$
• $t(R)=R\cup R^2\cup R^3\cup ...$（并不是无穷个集合做并运算，因为关系的复合具有周期性）

在写闭包集合时，先将原关系中的所有元素全部写上，再根据关系图进行补充（在图上添邮有向边）。
若几个元素形成了一个环，则其传递闭包就是全域关系$E_A$

闭包的矩阵为：

闭包的性质

1、 若$R$是$A$上的关系（即$R\subseteq A\times A$）且$A\ne \varnothing$，则：

• $R是自反的\iff R=r(R)$
• $R是对称的\iff R=s(R)$
• $R是传递的\iff R=t(R)$
  
  
• $R是自反的\Rightarrow s(R),t(R)也是自反的$
• $R是对称的\Rightarrow r(R),t(R)也是对称的$
• $R是传递的\Rightarrow r(R)是传递的$. （$s(R)$不一定传递）
  
  
• $r(s(R))=s(r(R))$
• $r(t(R))=t(r(R))$
• $s(t(R))\subseteq t(s(R))$

2、设$R_1,R_2\subseteq A\times A且A\ne \varnothing ,R_1\subseteq R_2$，则

• $r(R_1)\subseteq r(R_2)$
• $s(R_1)\subseteq s(R_2)$
• $t(R_1)\subseteq t(R_2)$

3、设$R_1,R_2\subseteq A\times A$，则

• $r(R_1\cup R_2)=r(R_1)\cup r(R_2)$
• $s(R_1\cup R_2)=s(R_1)\cup s(R_2)$
• $t(R_1)\cup t(R_2)\subseteq t(R_1\cup R_2)$

等价关系与偏序关系

划分

划分块也就是所谓的MECE (Mutually Exclusive and Collectively Exhaustive) 原则, 即“不重不漏”.

注意：划分与关系无关，可以随意划分。划分是一个集合族。

等价关系

等价关系是一种重要的二元关系。


等价关系的关系图的子图之间可能不连通，即：在等价关系中，不同的元素可能有不同的与之等价的元素，每一个部分中的所有元素构成一个等价类，每个类中的元素两两均等价，不同类之间的元素则没有关系。

等价类：
设$R$为非空集合$A$上的等价关系，$\forall x\in A$，令 [ x ] R = { y ∣ y ∈ A ∧ x R y } [x]_R = \{y|y\in A\land xRy\} [x]R​={ y∣y∈A∧xRy}，称$[x{]}_R$为x关于R的等价类（简称为x的等价类）。

x的等价类即$A$中所有与x等价的元素所构成的集合。可见x的等价类中至少有一个元素x本身，所以等价类不可能是空集。

全域关系、恒等关系都是等价关系。
对于全域关系，$A$中所有元素关于$E_A$的等价类都相同，即全域关系只有一个等价类。

等价关系的性质：设$R$为非空集合$A$上的等价关系，则：

• $\forall x\in A,[x]是A的非空子集$
  即：等价类不可能是空集
• $\forall x,y\in A,如果xRy，则[x]=[y]$
  即：彼此等价的元素属于同一个等价类
• $\forall x,y\in A,如果x与y不满足关系R，则[x]与[y]不交$
  即：彼此不等价的元素是属于不同的等价类, 且这些等价类之间无公共元素
• ∪ { [ x ]   ∣   x ∈ A } = A \cup\{[x]\ |\ x\in A\}=A ∪{ [x] ∣ x∈A}=A
  即：所有等价类的并集即A

将所有等价类构成的集合称为商集，记为$A/R$。即商集是一个集合族，其中每一个元素都是一个等价类，可见，商集就是对A的一个划分。

商集一定是划分，划分不一定是商集。
划分与关系无关，可以随意划分；商集与集合有关。

A的每一种划分都可以定义为一种等价关系，即A上的等价关系与A的划分是一一对应的。

偏序关系

偏序关系用来描述事物之间的次序。


两个元素可比意味着这两个元素之间存在着顺序关系。

可以通过哈斯图来清晰地表现出覆盖关系：

注意：哈斯图 ≠ 关系图，哈斯图中没有画出自反关系、传递关系。