集合论—关系的运算和性质

关系的定义

关系是一个有序对集合或空集合，关系之间做运算以后依然是关系。

关系的定义域( $\text{dom} R$)，值域( $\text{ran} R$)和域( $\text{fld} R$)

$\text{dom} R = \{x | \exist y(<x,y>\in R)\}$ $\text{ran} R = \{y|\exist x(<x,y>\in R)\}$ $\text{fld} R = \text{dom}R\bigcup\text{ran}R$其中 $<x,y>\in R$表示 $x$经过 $R$运算变换得到 $y$，也可以记作 $x\text{R}y$

关系的运算

关系的逆、复合(合成)、限制和像

设 $R=\{<1,2>,<1,3>,<3,4>\}$、 $S=\{<2,4>,<3,5>\}$为任意关系， $A=\{1,2\}$为集合

1. $R$的逆，记作 $R^{-1}$ $R^{-1}=\{<y,x>|<x,y>\in R\}$例： $R^{-1}={<2,1>,<3,1>,<4,3>}$
2. $R$与 $S$的复合，复合分为左复合和右复合，一般情况下"复合"一词指的就是右复合，记作 $R\circ S$ $\text{左复合：}R\circ S=\{<x,y>|\exist z(<x,z>\in S\land<z,y>\in R)\}$ $\text{右复合：}R\circ S=\{<x,y>|\exist z(<x,z>\in R\land<z,y>\in S)\}$例： $\text{左复合：}R\circ S=\{\varnothing\}$； $\text{右复合：}R\circ S=\{<1,4>,<1,5>\}$
3. $R$在 $A$上的限制，记作 $R\upharpoonright A$ $R\upharpoonright A=\{<x,y>|<x,y>\in R\land x\in A\}$例： $R\upharpoonright A=\{<1,2>,<1,3>\}$
4. $A$在 $F$下的像，记作 $F[A]$ $R[A]=\text{ran}(R\upharpoonright A)$例： $R[A]=\{2,3\}$

以上定义的运算是关系的基本运算

基本运算的主要性质

设 $R$、 $S$、 $T$是任意的关系，则有

1. $(R^{-1})^{-1}=R$
2. $\text{dom}R^{-1}=\text{ran}R$，反之亦然
3. $(R\circ S)\circ T=R\circ(S\circ T)$
4. $(R\circ S)^{-1}=S^{-1}\circ F^{-1}$
5. $R\circ(S\cup T)=R\circ S\cup R\circ T$
6. $R\circ(S\cap T)\subseteq R\circ S\cap R\circ T$
7. $(S\cup T)\circ R=S\circ R\cup T\circ R$
8. $(S\cap T)\circ R\subseteq S\circ R\cap T\circ R$

关系的幂运算

设 $R$为 $A$上的关系， $R\circ R$可以简记为 $R^2$，称为 $R$的二次幂。一般地可以定义 $R$的 $n$次幂为 $R^n$，且有：

1. $R^0=\{<x,x>|x\in A\}$
2. $R^n=R^{n-1}\circ R,n\geqslant 1$

由定义可知 $R^0$就是 $A$上的恒等关系 $I_A$，不难证明： $R\circ R^0=R=R^0\circ R$由此等式可以得到： $R^1=R^0\circ R= R$ $R^2=R^1\circ R$ $R^3=R^2\circ R$*

例如：设 $A=\{1,2,4,5\}$有二元关系 $R=\{<1,2>,<2,1>,<4,2>,<5,1>\}$，则有：
$R^0=\{<1,1>,<2,2>,<4,4>,<5,5>\}$ $R^1=R = \{<1,2>,<2,1>,<4,2>,<5,1>\}$ $R^2=\{<1,1>,<2,2>,<4,1>,<5,2>\}$ $R^3=\{<1,2>,<2,1>,<4,2>,<5,1>\}$
关系幂运算定理*
设 $R$为 $A$上的关系， $m$、 $n$是自然数，则下列等式成立

1. $R^m\circ R^n=R^{m+n}$
2. $(R^m)^n=R^{mn}$

关系的性质

设 $R$是 $A$上的关系， $R$的性质主要有以下5种：自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。

	自反性	反自反性	对称性	反对称性	传递性
定义	$\forall x\in A$，有 $<x,x>\in R$	$\forall x\in A$，有 $<x,x>\notin R$	若 $<x,y>\in R$，则 $<y,x>\in R$	若 $<x,y>\in R$且 $x\neq y$，则 $<y,x>\notin R$	若 $<x,y>\in R$且 $<y,z>\in R$，则 $<x,z>\in R$
关系矩阵的特点	主对角线元素全为1	主对角线元素全为0	矩阵沿主对角线对称	若 $r_{ij}=1$且 $i\neq j$，则 $r_{ji}=0$	无
关系图的特点	每一个顶点都有环	每一个顶点都没有环	若两个顶点之间有边，则一定是一对方向相反的边	若两个顶点之间有边，则一定是一条有向边	若顶点 $x_i$到 $x_j$有边且 $x_j$到 $x_k$有边，则 $x_i$到 $x_k$有边