集合论—关系的自反、对称和传递闭包

关系的自反、对称和传递闭包定义

设 $\text{R}$是非空集合 $A$上的关系， $\text{R}$的自反(对称、传递)闭包是 $A$上的关系 $\text{R}'$，且 $\text{R}'$满足以下条件：

1. $\text{R}'$是自反(对称、传递)的
2. $\text{R}\subseteq\text{R}'$
3. 对 $A$上的任何包含 $\text{R}$的自反(对称、传递)关系 $\text{R}''$都有 $\text{R}'\subseteq\text{R}''$

一般将 $\text{R}$的自反闭包(reflexive)记作 $r(\text{R})$，对称闭包(symmetry)记作 $s(\text{R})$，传递闭包(transfer)记作 $t(\text{R})$

构造 $A$上关系的 $R$包

设 $R$为非空集合 $A$上的关系，则有定理：

1. $r(R) = R\cup R^0$
2. $s(R) = R\cup R^{-1}$
3. $t(R) = R\cup R^2 \cup R^3 \cup ...$

例：设 $A=\{a,b,c,d\}$， $R=\{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>\}$，则 $R$和 $r(R)、s(R)、t(R)$如图所示：
$R:$

$r(R):$节点作圈

$s(R):$节点互逆

$t(R):$首尾连接

设 $R$的关系矩阵为 $M$，相应的自反、对称、传递闭包的矩阵为 $M_r$、 $M_s$、 $M_t$，将以上三条定理公式转化为矩阵表示。即得：

1. $M_r = M+E$
2. $M_s = M+M'$
3. $M_t = M + M^2 + M^3+...$

其中 $E$为同阶单位矩阵， $M'$为 $M$的转置

例：设 $A=\{a,b,c,d\}$， $R=\{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>\}$，则 $M_r、M_s、M_t$如下所示：

$M_r=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $M_s=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$ $M_t=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$