POJ 2888. Magic Bracelet

置换群，相邻有一定限制，那么不能用polya，只能用Burnside。

Burnside本质就是每种置换群种的每个循环要染相同的颜色。

这是个环，就有 $n$ 种置换，每种置换循环节个数为 $d = \gcd(n, i)$，长度为 $\frac{n}{d}$。

每个循环为 $x \to x +  d \to \cdots \to x$，那么其实本质就是有长度为 $d$ 的环，相邻颜色有限制。

设 $dp[i][x][y]$ 表示现在在第 $i$ 个位置，第一个位置颜色为 $x$，当前颜色为 $y$ 的方案数。

转移方程 $dp[i][x][y] = \sum dp[i - 1][x][k] * limit[k][y]$，答案为 $\sum dp[d + 1][i][i]$。

那么可以转化为矩阵乘法。

总答案为 $\sum \limits_{i=1}^{n} \sum dp[\gcd(n, i)][j][j] = \sum \limits_{d|n} \phi(\frac{n}{d}) \times \sum dp[d+1][j][j]$

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int MOD = 9973;
int m, n, k;

void M(int &a) {
    if (a >= MOD) a -= MOD;
    if (a < 0) a += MOD;
}

struct Mat {
    int mat[11][11];
    void clear() {
        memset(mat, 0, sizeof(mat)); 
    }
    Mat(int x = 0) {
        memset(mat, 0, sizeof(mat)); 
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            mat[i][i] = x;
    }
    Mat operator * (const Mat &p) const {
        Mat c;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++) { 
                int cnt = 0;
                for (int k = 1; k <= m; k++)
                    cnt += mat[i][k] * p.mat[k][j];
                c.mat[i][j] = cnt % MOD;
            }
        return c;
    }
    Mat operator ^ (int b) {
        Mat c(1);
        Mat a = *this;
        while (b) {
            if (b & 1) c = c * a;
            a = a * a;
            b >>= 1;
        }
        return c;
    }
} base, res;

int phi(int n) {
    int ans = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            ans -= ans / i;
            while (n % i == 0)
                n /= i;
        }
    }
    if (n > 1)
        ans -= ans / n;
    return ans % MOD;
}

int qp(int a, int b = MOD - 2) {
    int ans = 1;
    a %= MOD;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = ans * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int solve(int x) {
    res = base ^ x;
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        M(ans += res.mat[i][i]);
    return ans;
}

int solve() {
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
        if (n % i) continue;
        M(ans += 1LL * phi(n / i) * solve(i) % MOD);
        if (i * i == n) continue;
        M(ans += 1LL * phi(i) * solve(n / i) % MOD);
    }
    return ans * qp(n) % MOD;
}

int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        base.clear();
        scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++)
                base.mat[i][j] = 1;
        while (k--) {
            int a, b;
            scanf("%d%d", &a, &b);
            base.mat[a][b] = base.mat[b][a] = 0;
        }
        printf("%d\n", solve());
    }
    return 0;
}

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