POJ-2888 Magic Bracelet （polya定理+dp矩阵快速幂）

题目：用m种颜色给长度为n的项链染色，其中k对颜色不能相邻，旋转相同看作同一种方案，问方案数，结果模9973 。

思路：对于一段上的方案数是，dp[i][j]=sigma(dp[i-1][k]) (j与k可以相邻)；长度非常大的时候这是做不了的，看到这个形式就可以考虑一下矩阵快速幂了。然后应用polya计数。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod = 9973;
struct node{
    int m[11][11];
    node()
    {
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
};
int m;
node Mul(node a,node b)
{
    node c;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        for(int k=0;k<m;k++)
        if(a.m[i][k])
        {
            for(int j=0;j<m;j++)
            {
                c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j]%mod;
                c.m[i][j]%= mod;
            }
        }
    }
    return c;
}

node Pow(node t,int p)
{
    node ans;
    for(int i=0;i<m;i++)
        ans.m[i][i]=1;
    while(p)
    {
        if(p&1)
            ans=Mul(ans,t);
        t=Mul(t,t);
        p>>=1;
    }
    return ans;
}
node s;
int f(int n)
{
    node ans=Pow(s,n);
    int res=0;
    for(int i=0;i<m;i++)
        res=(res+ans.m[i][i])%mod;
    return res;
}
int qmod(int x,int p)
{
    int ans=1;
    x%=mod;
    while(p)
    {
        if(p&1)
            ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;
        p>>=1;
    }
    return ans;
}
const int MAXN=100010;
int prime[MAXN+5];
void getPrime()
{
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(!prime[i])prime[++prime[0]]=i;
        for(int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]<=MAXN/i;j++)
        {
            prime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int eular(int x)
{
    int r=x;
    for(int i=1;prime[i]*prime[i]<=x&&i<=prime[0];i++)
    {
        if(x%prime[i]==0)
        {
            r=r-r/prime[i];
            while(x%prime[i]==0)
                x/=prime[i];
        }
    }
    if(x>1)r=r-r/x;
    return r%mod;
}
int n,t,k;
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    getPrime();
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);

        for(int i=0;i<m;i++)
            for(int j=0;j<m;j++)
            s.m[i][j]=1;
        for(int i=1;i<=k;i++)
        {
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            x--,y--;
            s.m[x][y]=s.m[y][x]=0;
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++)
        {
            if(n%i==0)
            {
                ans=(ans+f(i)*eular(n/i)%mod)%mod;
                if(i*i!=n)
                    ans=(ans+f(n/i)*eular(i)%mod)%mod;
            }
        }
        ans=ans*qmod(n,mod-2)%mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}