矩阵及其应用
1.矩阵乘法
\[ C_{m\times n} = A_{m\times s} \times B_{s\times n} \]
\[ c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+ \cdots +a_{is}b_{sj}= \sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj} \]
即：乘积矩阵第i行第j列的元等于左边矩阵第i行的各元与右边矩阵第j列的对应元乘积之和。
- 一般情况下AB≠BA：BA可能无意义；即使有意义，其结果不一定有相同的行数与列数；即使有相同的行数与列数，AB与BA也不一定相等；同理一般 \((AB)^{k}\neq A^{k}B^{k} \)，规定\(A^{0}=E\).
- 若AB=BA，则称A与B乘法可交换。n阶单位矩阵E与任何n阶矩阵乘法可交换。
- 两个非零矩阵之积可能是零矩阵，即由AB=O不能得到A=O或B=O；同理A≠O，AB=AC不能推出B=C (但A可逆时则可以推出B=C)。
2.转置矩阵
\[(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}\]
\[(A+B)^{T}= A^{T}+B^{T}\]
\[(AB)^{T}= B^{T}A^{T}\]
- 对称矩阵\(A^{T}=A\)；反对称矩阵\(A^{T}=-A\)（特点：主对角线上元素都是0）
- 任意n阶方阵都可以写成对称矩阵与反对称矩阵之和。
\[A=\frac{A+A^{T}}{2}+\frac{A-A^{T}}{2}\]
3.共轭矩阵
当\(A=(a_{ij})\)为复矩阵时，用\(\bar{a_{ij}}\)表示\(a_{ij}\)的共轭复数，则\(\bar{A}=(\bar{a_{ij}})\)称为A的共轭矩阵，共轭矩阵满足：
\[\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}\]
\[\overline{\lambda A}=\overline{\lambda} \, \overline{A}\]
\[\overline{AB}=\overline{A} \, \overline{B}\]
4.可逆矩阵
设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得
\[AB=BA=E\]
则称A为可逆矩阵，并称B为A的逆矩阵，记为\(B=A^{-1}\).
若A可逆，则A的逆矩阵唯一；单位矩阵的逆矩阵就是其本身。
- 对于二阶矩阵，若\(ad-bc\neq 0\)，则
\[\begin{bmatrix}
a &b \\
c&d
\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}
d &-b \\
-c&a
\end{bmatrix}\]
- \((A^{-1})^{-1}=A\)；\((kA)^{-1}=k^{-1} A^{-1}\)；\((A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}\)
- 若A与B都是n阶可逆矩阵，则AB也是n阶可逆矩阵，且\((AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}\)；同理有\(A^{-m}=(A^{-1})^m\)，其中m是非负整数。
- 对角矩阵
5.逆矩阵的求法
- 定义法（AB=E）
- 初等变换法
- 伴随矩阵法
- 分块矩阵求逆法
- 利用线性方程组求逆矩阵
以上各种解法的详细描述及具体例题可参考逆矩阵的几种求法与解析（分享自百度文库）
6.分块矩阵
- 分块矩阵的转置，需将子块构成的行顺次改成列，然后，还需将每个子块取转置。
- 分块矩阵的乘法Ams×Bsn ：使A的列的分法与B的行的分法一致。(例如，A在第三行第二列划线，则B在第三列第二行划线)
- 矩阵AB的第j列是矩阵A与B的第j列的乘积 \[C=AB=A(\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta_{n})=(A\beta _{1},A\beta _{2},\cdots,A\beta_{n})\]
- 矩阵AB的第i行是矩阵A的第i行与矩阵B的乘积 \[C=AB=\begin{bmatrix} \alpha _{1}\\ \alpha _{2}\\ \cdots \\ \alpha_{4} \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix} \alpha _{1}B\\ \alpha _{2}B\\ \cdots \\ \alpha_{4}B \end{bmatrix}\]
7.矩阵的初等变换（初等行变换、初等列变换）
- 高斯消元法：阶梯型方程组（自上而下未知量个数依次减少）
- 矩阵的初等行变换（3种）：互换矩阵第i行和第j行的位置；用一个非零常数k乘矩阵的第i行；将矩阵的第j行所有元的k倍加到第i行的对应元上。矩阵A经初等变换化为B，称A与B等价。
- 行阶梯型矩阵：
（1）若有零行，则零行位于非零行的下方；（2）每个首非零元前面零的个数逐行增加。
首非零元为1，且首非零元所在列的其它元都为0的行阶梯型矩阵称为行最简形矩阵。
- 任意m×n矩阵A总可以经过初等行变换化成行阶梯型矩阵及行最简形矩阵，其中行最简形矩阵是唯一的。
- 任意m×n矩阵A总可以经过有限次初等变换化为等价标准型：\[N=\begin{bmatrix}
E_{r} &O \\
O & O
\end{bmatrix}\] 此标准型由m,n,r完全决定，r是行阶梯型矩阵中非零行的行数。
8.初等矩阵
对单位矩阵E施行一次初等变换所得到的矩阵叫做初等矩阵（均可逆，逆矩阵仍是初等矩阵，可口算）。
定理：对A施行初等行变换，其结果等于在A左边乘以相应的初等矩阵；
对A施行初等列变换，其结果等于在A右边乘以相应的初等矩阵；（可通过分块矩阵证明）
定理：n阶方阵可逆的充要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积。
9.应用举例
- 信息加密问题：密钥矩阵
- 人口流动问题：变化矩阵A（表征人口迁移规律）,Y=AX
- 图的邻接矩阵
注：我校使用教材为刘三阳老师主编的《线性代数》第三版。
