二次型
1.二次型及其矩阵表示
- 定义
仅含平方项的二次型称为标准形式的二次型，简称标准型。
矩阵A的秩称为二次型f(x)的秩，二次型的矩阵一定是对称矩阵。
- 合同矩阵
定理：若A与B合同且A为对称矩阵，则B也为对称矩阵，且R(A)=R(B)
2.化二次型为标准型
- 正交变换法（最常用）
性质：正交变换保持向量的内积、范数、夹角不变。
- 配方法
P174通过实例掌握配方法。
- 初等变换法
求可逆矩阵C，使得\(C^{T}\)AC=Λ
P176通过实例掌握
3.正定二次型
- 惯性定理
其中p称为二次型f的正惯性指数，q称为二次型f的负惯性指数，它们的差p-q称为二次型f的符号差。
二次型的标准型是不唯一的，而规范型是唯一的。
- 正定二次型
4.应用举例
- 多元函数的极值问题（正定、负定二次型）
- 二次曲面的分类（正交变换）
