- 矩阵的秩的含义？
基本概念：
矩阵的秩就是矩阵中不等于0的子式的最高阶数。
行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的行数。
与向量组的关系：
矩阵的秩等于它列向量组的秩，也等于它行向量组的秩。
向量组的秩定义为向量组的极大线性无关组所含向量的个数。
与向量空间的关系（几何意义）：
任何矩阵的行空间的维数等于矩阵的列空间的维数等于矩阵的秩。
与线性方程组解的关系：
设A是m×n矩阵，若R(A)=r＜n，则齐次线性方程组Ax=0有基础解系，且每个基础解系都含n-r个解向量。
与线性变换的关系：
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所谓一个线性变换的秩，无非就是变换后，还能保持非零体积的几何形状的最大维度。
- 行列式的含义？
基本概念：
本质含义（几何意义）：
行列式就是在给定一组基下，N个向量张成的一个N维广义四边形的体积。2阶行列式代表的是平面内的面积；3阶行列式自然而然就是3维空间内的体积；4阶行列式是4维空间里的超体积。
与线性映射的关系：（来源于网络，个人感觉很经典，下同）
- 线性相关的含义？
公式定义：
设\(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\)都为n维向量，若存在一组不完全为0的\(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m}\)，使得\(k_{1}\alpha_{1}+ k_{2}\alpha_{2}+ \cdots+ k_{m} \alpha_{m}=0\)，则称向量组\(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\)线性相关，否则，称向量组\(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\)线性无关。
几何意义：
一组矢量的线性相关性本质上，是描述他们所张成的广义平行四边形体积是否为零。N个向量线性无关 ⇔ 他们所张成的N维体体积不为零。于是有：线性无关矢量组成的矩阵的行列式不为零；线性相关矢量组成的矩阵的行列式必为零。
- 矩阵的特征值与特征向量有什么关系？
- 一个特征值可能对应多个特征向量，一个特征向量只能属于一个特征值；
- 属于不同特征值的特征向量一定线性无关；
- 设λ是n阶方阵A的一个k重特征值（λ为特征方程的k重根），对应于λ的线性无关的特征向量的最大个数为l，则k≥l，即特征值λ的代数重数不小于几何重数。
