《线性代数及其应用》总结1 整体理解

一、矩阵和线性代数的关系
第一，众所周知，线性代数的一个问题是解线性方程组。矩阵是一种用来简化线性方程组表示的工具。
第二，矩阵可以表示一种线性映射，称为矩阵映射，写做T(x) = Ax，其中A是一个矩阵，x 和T(x) 是向量。所有矩阵映射都是线性映射，但线性映射不全都能表示为矩阵映射。

二、线性代数的应用
1、解复杂的线性方程组。
2、分析差分方程。例： $x_t = Ax_{t-1}$。t时刻状态$x_t$由上一时刻状态经过一个矩阵变化得到。分析x的变化过程，以及求解$x_t$需要用到线性代数知识。
3、计算机图形学。向量表示点，矩阵表示空间中的平移、缩放、旋转等操作。

三、可逆矩阵
非常重要，在计算推导中非常有用。注意可逆性质只能用于方阵。方阵A可逆当且仅当A的行列式不为零。

四、行列式有什么用
行列式是一个数！行列式用处不多，一个是判断是否可逆，一个是计算特征方程。行列式是一个算式，经过计算后就是个数。

五、向量空间、线性映射
这两个概念是高于矩阵的。矩阵映射是线性映射的一种，一班的Rn空间也只是向量空间的一种。

六、秩
从线性映射的层次理解，秩是线性映射的值域空间的维数。线性变化各个空间的维数有如下关系：
dim nullT + dim rangeT = n
n是线性变化定义域的维数，其中dim rangeT和秩相等。

七、特征向量、特征值有什么用
在动力系统中（基本和差分方程一样），为了探究系统随时间推移的变化。需要将递推公式$x_t = Ax_{t-1}$进行分解，这里A是方阵。
然后，经过对方阵A的研究人们发现，存在着一种特别情况，某些向量x 满足 $Ax = \lambda x$，这个x叫做特征向量，$\lambda$是特征值，这两个概念仅对方阵有效。特征向量可能有多个，递推公式中初始向量可能可以写成特征向量的线性组合。这样以来，连续的矩阵乘法就可以转化成特征值的连续乘法，大大简化了递推公式。

八、特征值、特征向量的计算
有几种方法计算特征值，其中越靠前的越少见。
1、三角矩阵
所有三角矩阵，对角线元素是特征值。这种情况最少见。
2、特征方程
lambda是特征值当且仅当lambda是特征方程$det( A - \lambda I)$的根。
3、实际应用中，一般很难精确求出特征方程，可能因为特征方程太复杂，或者特征方程无解。因此有特征值的估计方法， 能够得到近似值，仍然能很好的解决实际问题。比如QR分解。

九、矩阵对角化
如果一个n维方阵有n个线性无关的特征向量，那么方阵可以被对角化：$A = PDP^{-1}$。D是对角矩阵，对角线上是n个特征值。P是n个特征向量纵向排列拼成的矩阵。
矩阵对角化的意义是能够简化矩阵A的幂运算：$A^k = PD^kP^{-1}$。

十、正交
重要概念，正交投影，对于向量空间V和V的子空间U，向量x可分解为两个相互正交的部分u和v，u属于子空间U，u是x在U上的正交投影，u还有一个很有趣的特点，它是U空间中离x最近的点。这个性质，让正交投影和最小二乘法有了关系，最小二乘法的计算，可以看做是求一个正交投影。

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