9. 随机变量

随机变量

现实生活中，有些结果并非是数量化的。

这里有两类实验结果：

示数类型：降雨量；候车数；发生交通事故的次数；…

非示数类型：明天天气（晴，多云…）；化验结果（阳性，阴性）；…

这里要解决非示数类型最主要的问题是：将实验结果数量化

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随机变量（Random Variable） 的定义

设随机实验的样本空间为 $S$，若

$X = X(e)$

为定义在 $S$ 上的实值单值函数，则称 $X(e)$ 为随机变量，简写 $X$.

说明：

（1）随机事件 $X(e)： S \rightarrow R$ 为一映射，其自变量具有随机性；

（2）随机事件可以表示为 $A=\{e:X(e)\in I\} = \{X\in I\}, I\subset R.$如：将一枚均匀的硬币投掷 3 次，样本空间为

$S=$｛正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反｝

若 $X$ 表示 3 次中出现的次数，则

随机事件 $A$=｛正面出现了一次｝=｛正反反，反正反，反反正 ｝= $\{e:X(e)=1\}=\{X=1\}$

随机事件 $B$=｛3 次出现的情况相同｝=｛正正正，反反反｝= $\{X=0或3\}$

随机事件 $C$=｛正面至少出现了一次｝= $\{X\geq 1\}$

（3） 对于 $i\neq j$，则必有 $\{X=i\}\bigcap\{X=j\}=\emptyset$.

（4）一般用大写英文字母 X,Y,Z 或希腊字母 $\xi,\eta$ 等来表示随机变量。

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$常见的两类随机变量 \begin{cases} 离散型随机变量 \\ \\ 连续型随机变量 \end{cases}$

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离散型随机变量的定义

若随机变量 $X$ 的取值为有限个或可数个 ，则称 $X$ 为离散型随机变量。

可数集（也成可列集）：是指能与自然数集 $N$ 建立一一对应的集合。即其中的元素都是可以被数到的。

如：正奇数集 {1,3,…},整数集{…,-2,-1,0,1,2…}，等等。

不可数集：是无穷集合中的一种。一个无穷集合和自然数集合之间如果不存在一一对应关系，那么它就是一个不可数集。

离散型随机变量的概率分布律（简称分布律）

$分布律的内容 \begin{cases} 随机变量的所有可能取值 \\ 取每个可能取值相应的概率 \end{cases}$

分布律的性质：

$p_k\geq 0, \sum_{k=1}^{+\infty}p_k=1$

分布律的另一表现形式： $P(X=x_k)=p_k, k=1,2,...$

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例 1： 投掷一颗均匀的骰子，用 $X$ 表示出现的点数，求 $X$ 的概率分布律。

解： 由题意知， $X$ 的可能取值为 1,2,3,4,5,6 且其分布律为：

X	1	2	3	4	5	6
P	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

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例 2： 有一颗均匀的骰子 进行独立重复地投掷 直到出现 6 点为止停止试验。用 $X$ 表示投掷骰子的次数，求 $X$ 的概率分布律

解： 由题意知， $X$ 的取值为 1,2,3…,

用 $A_k=$｛第 $k$ 次掷出的点数为 6｝，则 $A_k,k=1,2,3...$ 之间相互独立，且 $P\{A_k\}$=1/6，

由于 $P(X=1)=P(A_1)=1/6$， $P(X=2)=P(\overline{A_1}A_2)=\frac{5}{6}·\frac{1}{6}$， $P(X=3)=P(\overline{A_1}~\overline{A_2}~A_3)=(\frac{5}{6})^2·\frac{1}{6}$,…

故 $X$ 的分布律为

X	1	2	3	…	k	…
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{6}·\frac{1}{6}$	( $\frac{5}{6})^2·\frac{1}{6}$	…	( $\frac{5}{6})^{k-1}·\frac{1}{6}$	…

或写成

$P(X=k)=(\frac{5}{6})^{k-1}·\frac{1}{6},k=1,2...$