多维随机变量及其分布

二维随机变量

一般，设$E$为一个随机试验，它的样本空间是$S=\{e\}$,设$X=X(e)$和$Y=Y(e)$是定义在$S$上的随机变量，由他们构成的一个向量$(X,Y)$叫做二维随机向量，或者二维随机变量。
分布函数
设$(X,Y)$是二维随机变量，对于任意实数$x,y$，二元函数：

$$F(x,y)=P\{(X\leq x)\cap(Y\leq y)\}\mathop{=}^{记成}P\{X\leq x,Y\leq y\}$$
称为 二维随机变量$(X,Y)$的分布函数，或称为 随机变量$X$和$Y$的联合分布函数。

分布函数 $F(x,y)$的性质
$1^{\circ}$
$F(x,y)$是变量 $x$和 $y$的不减函数，即对任意固定的 $y$，当 $x_2>x_1$时, $F(x_2,y)\geq F(x_1,y)$；对于任意固定的 $x$，当 $y_2\geq y_1$时 $F(x,y_2)\geq F(x,y_1)$
$2^{\circ}$
$0\leq F(x,y)\leq 1$且

对于任意固定的$y$,$F(-\infty,y)=0$
对于任意固定的$x$,$F(x,-\infty)=0$
$F(-\infty,+\infty)=0,F(+\infty,+\infty)=1$


$3^{\circ}$
$$F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)$$ ,即对于 $F(x,y)$ 关于$x$右连续， 关于$y$也右连续。
$4^{\circ}$
对于任意 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),x_1<x_2,y_1<y_2$下面不等式成立：
$$F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)\geq 0$$

离散型随机变量

如果二维随机变量$(X,Y)$所有可能取值为$(x_i,y_i),i,j=1,2,\cdots$，记$P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots$，则由概率的定义有

$$p_{ij}\geq 0,\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=1$$
我们称 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots$为二维离散型随机变量 $(X,Y)$的 分布律，或称随机变量 $X$和 $Y$的 联合分布律
我们可以使用表格来表示 $X$和 $Y$的联合分布律
与一维随机变量类似，对二维随机变量 $(X,Y)$的分布函数 $F(x,y)$，如果存在 非负可积函数$f(x,y)$使得对于任意 $x,y$有 $$F(x,y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x}f(u,v)\mathbb{d}u\mathbb{d}v$$
则称 $(X,Y)$是 连续型的二维随机变量，函数 $f(x,y)$称为二维随机变量 $(X,Y)$的 概率密度，或称为联合随机变量 $X$和 $Y$的 联合概率密度。
按照定义，概率密度 $f(x,y)$具有以下性质：
$1^{\circ}$:$f(x,y)\geq0$.
$2^{\circ}$:$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\mathbb{d}x\mathbb{d}y=F(+\infty,+\infty)=1$
$3^{\circ}$:
假设$G$是$xOy$平面上的区域，点$(X,Y)$落在$G$内的概率为
$$P\{(X,Y)\in G\}=\mathop{\int\int}_{G}f(x,y)\mathbb{d}x\mathbb{d}y$$
$4^{\circ}$:
若$f(x,y)$在点$(x,y)$连续，则有
$$\dfrac{\partial^2F(x,y)}{\partial{x}\partial{y}}=f(x,y)$$

边缘分布

二维随机变量$(X,Y)$作为一个整体，具有分布函数$F(x,y)$。而$X$和$Y$都是随机变量，各自也有相应分布函数，将他们分布记为$F_{X}(x)，F_{Y}(y)$，依次称为二维随机变量$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘分布函数。
边缘分布函数可以由$(X,Y)$的分布函数$F(x,y)$所确定，事实上：

$$F_{X}(x)=P\{X\leq x\}=P\{X\leq x,Y<\infty\}=F(x,\infty)$$
即：
$$F_X(x)=F(x,\infty)\\ F_Y(y)=F(\infty,y)$$
离散随机变量
$$F_X(x)=F(x,+\infty)=\sum_{x_i\leq x}\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}$$
$X$的分布律为：
$$P\{X=x_i\}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij},i=1,2,\cdots$$
$Y$的分布律为：
$$P\{Y=y_i\}=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij},j=1,2,\cdots$$
记：

$$p_{i\cdot}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=P\{X=x_i\},i=1,2,\cdots$$
$$p_{\cdot j}=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}=P\{Y=y_j\},j=1,2,\cdots$$
分别称 $p_{i\cdot}(i=1,2,\cdots)$和 $p_j{\cdot j}(j=1,2,\cdots)$为 $(X,Y)$关于 $X$和 $Y$的 边缘分布律.

连续型随机变量

$(X,Y)$,设他的概率密度为$f(x,y)$，由于

$$F_X(x)=F(x,\infty)=\int_{-\infty}^{x}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\mathbb{d}y\right]\mathbb{d}x$$
$X$是一个 连续型随机变量，且其概率密度为：
$$f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\mathbb{d}y$$

$Y$是一个连续型随机变量，且其概率密度为：

$$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\mathbb{d}x$$
分布称 $f_X(x)$和 $f_Y(x)$为 $(X,Y)$关于 $X$和关于 $Y$的 边缘概率密度。

二维正态分布

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为

$$f(x,y)=\dfrac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp{\left\{\dfrac{-1}{2(1-\rho^2)}\left[\dfrac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\dfrac{(x-\mu_1)(x-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\dfrac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}}$$
其中 $\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho$都是常数，且 $\sigma_1>0,\sigma_2>0,-1<\rho<1$。我们称 $(X,Y)$为服从 $\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho$的二维正态分布。
记为：
$$(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$$
另一种表示方法: $$X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},\mathbf{\mu}=\begin{pmatrix}\mu_1\\\mu_2\end{pmatrix}$$
$(X_1,X_2)$的协方差矩阵为：
$$C=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sigma_1^2&\rho\sigma_1\sigma_2\\\rho\sigma_1\sigma_2&\sigma_2^2\end{pmatrix}$$
它的行列式为： $\det{C}=\sigma_1^2\sigma_2^2(1-\rho^2)$
$C$的逆矩阵为：
$$C^{-1}=\dfrac{1}{\det{C}}\begin{pmatrix}\sigma_2^2&-\rho\sigma_1\sigma_2\\-\rho\sigma_1\sigma_2&\sigma_1^2\end{pmatrix}$$
$$\begin{aligned}\begin{pmatrix}X-\mu\end{pmatrix}^TC^{-1}\begin{pmatrix}X-\mu\end{pmatrix}&=\dfrac{1}{\det{C}}\begin{pmatrix}x_1-\mu_1&x_2-\mu_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sigma_2^2&-\rho\sigma_1\sigma_2\\-\rho\sigma_1\sigma_2&\sigma_1^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1-\mu_1\\x_2-\mu_2\end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{1-\rho^2}\left[\dfrac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\dfrac{(x-\mu_1)(x-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\dfrac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\\ \end{aligned}$$
于是 $(X_1,X_2)$的概率密度可以写成：
$$\begin{aligned}f(x_1,x_2)=\dfrac{1}{(2\pi)^{2/2}(\det{C})^{1/2}}\exp{\left\{-\dfrac{1}{2}(X-\mu)^TC^{-1}(X-\mu)\right\}}\end{aligned}$$

条件分布

设$(X,Y)$是二维离散型随机变量，其分布律为：

$$P\{X=x,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,\cdots$$
$(X,Y)$关于 $X$和关于 $Y$的边缘分布律分别为：

---

$$P\{X=x_i\}=p_{i\cdot}=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij},\quad i=1,2,\cdots\\ P\{Y=y_i\}=p_{\cdot j}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij},\quad j=1,2,\cdots\\$$

---

设$p_{\cdot j}>0$，考虑在事件$\{Y=y_j\}$已经发生的条件下事件$\{X=x_i\}$发生的概率，也就是求事件

$$\{X=x_i\mid Y=y_j\},\quad j=1,2,\cdots$$ 的概率，由条件概率公式，可得 $$P\{X=x_i\mid Y=y_j\}=\dfrac{P\{X=x_i, Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\dfrac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},i=1,2,\cdots$$
上面 条件概率具有分布律的性质：

$$\begin{aligned} &1^{\circ}P\{X=x_i\mid Y=y_j\}\geq 0;\\ &2^{\circ}\sum_{i=1}^{\infty}P\{X=x_i\mid Y=y_j\}=\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}=\dfrac{1}{p_{\cdot j}}\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}=\dfrac{p_{\cdot j}}{p_{\cdot j}}=1\\ \end{aligned}$$

定义：
设$(X,Y)$是二维离散型随机变量，
对于固定的$j$,若$P\{Y=y_j\}>0$则称：

$$P\{X=x_i\mid Y=y_j\}=\dfrac{P\{X=x_i, Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\dfrac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},i=1,2,\cdots$$
为在 $Y=y_j$条件下随机变量 $X$的条件分布律

---

同样对于固定的$i$,若$P\{X=x_i\}>0$，则称

$$P\{ Y=y_j \mid X=x_i\}=\dfrac{P\{X=x_i, Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}}=\dfrac{p_{ij}}{p_{i\cdot}},j=1,2,\cdots$$ 为在 $X=x_j$条件下随机变量 $Y$的条件分布律

定义：
设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)$，$(X,Y)$关于$Y$的边缘概率密度$f_Y(y)$。若对于固定的$y$,$f_Y(y)>0$,则称$\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}$为在$Y=y$的条件下$X$的条件概率密度，记为：

$$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$
称 $\int_{-\infty}^{x}f_{X\mid Y}(x\mid y)\mathbb{d}x=\int_{-\infty}^{x}\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}\mathbb{d}x$为在 $Y=y$的条件下 $X$的条件分布函数。记：
$P\{X\leq x\mid Y=y\}$或者 $F_{X\mid Y}(x\mid y)$，即：
$$F_{X\mid Y}(x\mid y)=P\{X\leq x\mid Y=y\}=\int_{-\infty}^{x}\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}\mathbb{d}x$$
且满足条件：

$$\begin{aligned} &f_{X\mid Y}(x\mid y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}\\ &\int_{-\infty}^{\infty}f_{X\mid Y}(x\mid y)\mathbb{d}x=\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}\mathbb{d}x=\dfrac{1}{f_Y(y)}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\mathbb{d}x=1\\ \end{aligned}$$

相互独立的随机变量

定义:
设$F(x,y)$以及$F_X(x),F_Y(y)$分别是二维随机变量$(X,Y)$的分布函数以及边缘分布函数，若对于所有$x,y$有：

$$P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\}$$
即：
$$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$$
$\Leftrightarrow$若$(X,Y)$是连续型随机变量，$f(x,y),f_X(x),f_Y(y)$分别为$(X,Y)$的概率密度和边缘概率密度，则$X$和$Y$相互独立的条件为
$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$ 在平面上几乎处处成立（除去面积为零的集合外处处成立。）
则称随机变量 $X$和 $Y$是 相互独立的.

两个随机变量的函数分布(连续)

$Z=X+Y$

设$(X,Y)$是二维连续型随机变量，它具有概率密度$f(x,y)$，则$Z=X+Y$仍为连续型随机变量，其概率密度为：

$$f_{X+Y}(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)\mathbb{d}y$$
或
$$f_{X+Y}(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\mathbb{d}x$$
若 $X$和 $Y$相互独立，设 $(X,Y)$的关于 $X$和 $Y$的边缘概率密度分别为 $f_X(x)$和 $f_Y(y)$
则上式可以写为：
$$f_{X+Y}(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)\mathbb{d}y$$
或
$$f_{X+Y}(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\mathbb{d}x$$
这两个公式被称为 $f_X$和 $f_Y$的 卷积公式，记为 $f_X*f_Y$即：
$$f_X*f_Y=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)\mathbb{d}y=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\mathbb{d}x$$

$Z=\dfrac{Y}{X},Z=XY$

$M=\max{\{X,Y\}},M=\min{\{X,Y\}}$