随机变量的分布函数

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分布函数的定义：
设 $X$是 $\Omega$上的随机变量，对 $\forall x \in R$，函数 $F(x)=P\{X \leq x\}$称为 $X$的分布函数。

由定义可知，分布函数 $F(x)$是一个定义在实数轴上的普通函数，它可以完整地描述随机变量的取值规律，也就是说，若已知随机变量的分布函数，则任意随机事件的概率就可以用分布函数表示出来。

随机变量 $X$的分布函数的基本性质：
(1)单调不减性。即 $\forall x_1 \leq x_2 \in R，有F(x_1) \leq F(x_2)$

(2)有界性。即： $0 \leq F(x) \leq 1$且有 $F(-\infty)=\lim_{x \to -\infty}F(x)=0$ $F(\infty)=\lim_{x \to \infty}F(x)=1$

(3)右连续性。即对 $\forall x_0 \in R$有： $F(x_0 + 0) = F(x_0)$或 $\lim_{x\to x_0^+}F(x) = F(x_0)$

分布函数公式：
$F(x)$是随机变量 $X$的分布函数，对于 $\forall a < b \in R$，有：
1、
$P(X \leq a)=F(a)$
2、
$P(X < a)=F(a-0)$
3、
$P(X = a) = P(X \leq a) - P(X < a) = F(a) - F(a-0)$
4、
$P(X > a)=1-P(X \leq a)=1-F(a)$
5、
$P(X \geq a)=1-P(X < a) = 1-F(a-0)$
6、
$P(a < X < b)=P(X < b)-P(X \leq a)=F(b-0)-F(a)$
7、
$P(a < X \leq b)=P(X \leq b) - P(X \leq a) = F(b) - F(a)$
8、
$P(a \leq X < b)=P(X < b) - P(X < a)=F(b-0)-F(a-0)$
9、
$P(a \leq X \leq b)=P(X \leq b) - P(X < a) = F(b) - F(a-0)$