随机变量
定义
设随机试验E的样本空间为S={e},若X=X(e)是定义在样本空间S的上的一个单值实函数,则称X=X(e)为随机变量
简单说,让每一个样本点e对应着唯一的实数X(e),便得到随机变量X=X(e)
离散型随机变量
若随机变量只可能取有限个或可数无限个值时
连续型随机变量
若随机变量只可能取一个区间中的所有实数时
随机变量的概率
随机变量X取某个值x的事件用记号{X=x}表示,其概率记为{X=x}
若L是一个实数集,将随机变量X在L中取值的事件记作{X∈L},其概率记为P{X
L}
P{X∈L}=P{e|X(e)∈L}
离散型随机变量及其分布律
设离散型随机变量X所有可能的取值为xk,X取xk的概率为P{X=xk}=pk (k=1,2,…)
性质
1.非负性 Pk≥0,k=1,2,…
2.规范性 p1+p2+…+pn =1
分布律
x | x1 x2 … xk |
---|---|
pk | p1 p2 … pk |
X的每一个取值各占一些概率,这些概率加起来为1,即概率1以一定的规律分布着各个可能的值上。
0-1分布
定义
只取0和1两个值的随机变量所服从的分布称为0-1分布
设P{X=1}= p (0 < p <1) ,则P{X=0}=1-p
x | 0 1 |
---|---|
p_k | 1-p p |
二项分布
设X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数,则X是一个随机变量,X可能的取值为0,1,…,n。
用Ai表示事件A在第i次试验中发生(i=0,1,…,n)
假设A发生在第n1,..,nk次的试验,
这k次试验A发生概率为P(
…
An
…
Ak
)=(1-p)…(1-p)p(1-p)…(1-p)p(1-p)…(1-p)=pk(1-p)n-k
由于A发生在哪k次试验有
种
公式
P{X=k}=
pk(1-p)n-k
随机变量X服从参数n,p的二项分布,记为X~b(n,p)
规范性
pk(1-p)n-k=[p+(1-p)]n=1
二项分布为0-1分布b(1,p)
P{X=k}=pk(1-p)n-k (k=0,1) (C_0^1
C_1^1$=1)
例子
某人进行射击,每次射中命中率0。02,独立射击400次,至少中两次概率
P~b(400,0.02)
P{X=k}=
0.02k(1-0.02)400-k
P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}
=1-
0.020(1-0.02)400-0-
0.021(1-0.02)400-1=0.9972
泊松分布
知道发生的的平均次数
X~b(n,
)推出
定义
设随机变量X所以可能的取值为一起自然数0,1,2…,且取值k(k=0,1,2,..)的概率为
= P{X=k} =
其中
>0的常数,则称X服从参数为
的泊松分布。X~π(\lambda)
可以通过泊松分布表计算
规范性
例子
保险公司承保5000张同年龄为期一年的保单。如果合同期死亡,则赔付3万元。设1年内死亡概率为0.0015,且投保人是互为独立时间。求保险公司对于这批保险人赔付不超过30w的概率
X~b(5000,0.0015)
总赔付额为3X万元
求概率P{3X≤30}=P{X≤10}
二项分布
P{X≤10}=
0.0015k(1-0.0015)5000-k
计算困难,用泊松分布
\lambda=np=5000×0.0015=7.5
P{X≤10}=
直接查表
几何分布 试验直到成功的概率
用Ai表示事件A在第i次试验中发生(i=0,1,…,n)假设第kci试验中A第一次发生,则
P{X=k}=P(
…
Ak)=(1-p)…(1-p)p=(1-p)k-1p
定义
设多重伯努利试验中,事件A发生的概率为p(0 < p < 1),记X为A第一次发生时的试验次数,则X取值k的概率
P{X=k}=(1-p)k-1p (k=1,2…)
称X服从参数为p的几何分布,记作X~G(p)
x | 1 2 … k … |
---|---|
pk | p (1-p)p … (1-p)k-1p … |
规范性
几何级数(等比级数)
等比级数的和=
超几何分布
设有N件产品,其中有D件次品。今从中任取n件,问其中恰有k件次品(k≤D)的概率是多少?
在N件产品中取n件(不放回)的取法有
种
在D件次品中取k件的取法有
种
在N-D件正品中取n-k件的取法有
种
在N件产品中取n件,其中恰有k件次品的取法有
种
定义
设有N件产品,其中有M件次品。从中任取n件,则其中恰有k件次品(k≤M)的概率是
设随机变量X表示取出n件产品中的次品数,
则P{X=k}={
}\over {
} k=0,1,…,n
称X服从参数为n,M,N的超几何分布
与二项分布关系
当N很大时候,超几何分布和二项分布近似
随机变量的分布函数 累积分布函数
分布函数概率
定义
设X是一个随机变量(离散型或连续型),x是任意实数,称事件{X≤x}的概率P{X≤x}为X的分布函数,记作
F(x)=P{X≤x} 定义域整个实数域
对于任何实数x1,x2 (x1 < x2) , 都有P{x1 < X ≤ x2}=P{X ≤ x2}-P{X ≤ x1}=F(x2)-F(x1)
性质1
分布函数F(x)是实数域上( )的单调不减函数
性质2
0≤F(x)≤1
F(
)=0 F(
)=1
性质3
分布函数F(x)至多有可数个跳跃间断点,且处处都是右连续的,即对任何实数x0,都有
公式
P{X≤a}=F(a)
P{X<a}=F(a-0)
P{X=a}=F(a)-F(a-0)
P{X>a}=1-F(a)
P{X≥a}=1-F(a-0)
P{a≤X<b}=F(b-0)-F(a-0)
P{a<X<b}=F(b-0)-F(a)
P{a≤X≤b}=F(b)-F(a-0)
离散型随机变量的分布函数
函数概率的累积
连续型随机变量及其密度函数
连续型随机变量及其密度函数的概念
定义
如果随机变量X的分布函数F(x)可以写成以下形式:
其中f(x)是定义在 上的非负可积函数,则称X为连续型随机变量,
f(x)称为X的概率密度函数。
性质1
f(x)≥0 非负性
性质2
规范性
性质3
若f(x)在x处联系,则F(x)在x处可导,且
F’(x)=f(x)
性质4
对任意实数x1,x2(x1
均匀分布
定义
若连续随机变量X具有概率密度
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b
)
意义
若X~U(a,b),则X落在区间(a,b)中任意长度的子区间的可能性是相同的。
随机变量X落入每一个小区间概率都是
=
=
即落入每一个小区间都是等可能的,所以概率被均匀的分布在区间[a,b]上。
分布函数
指数分布
定义
若连续型随机变量X具有概率密度
则称X服从参数为 的指数分布,记为X~E( )
分布函数
性质 无记忆性
>0,有P{X > s+t | X>s}=P{X>t}
在一只X>s发生的条件下,则X>s+t发生的概率就等于{X>t}发生的概率
如,X是一个电子元件的寿命,若已知元件已经使用了s小时(X>s发生),它能再使用t小时(一共使用s+t小时,X>s+t发生)的概率,与它从开始使用起能用t小时的概率相等。
指数分布通常来作为各种寿命的分布
正态分布 高斯分布
若连续型随机变量X具有概率密度
f(x)=
其中
是常数,则称X服从参数为
的正态分布,记作X~N(
)
为X的均值
为方差
图像性质
1.y=f(x)的图形关于直线x=
对称。
即f(
-h)=f(
+h)
2.y=f(x)在x=
处的最大值f(
)=
3.x离
越远,f(x)的值越小
4.y=f(x)在x=
有两个拐点
5.y=f(x)以x轴为其水平渐近线
6.当
固定时,
决定y=f(x)的左右位置,
称为正态分布的位置参数。
7.当
固定是,
决定y=f(x)的集中程度。
越小,y=f(x)的图形越尖,越高,X落在
附件概率越大
分布函数
F(x)=
原函数不是初等函数,只能写成积分上限函数
标准正态分布
当
=0,
=1时的正态分布称为标准正态分布,记作X~N(0,1)
=
标准化
若X~N(
)则Z={X-
\over
}~N{0,1}
F(x)=
(
)
公式
P{X ≤ x}=
(
)
P{|X| ≤ x}=
(
)-1
P{x1 < X ≤ x2}=
(
)-
(
)
随机变量的函数的分布
定义
设g(x)是定义在随机变量X的一切可能取值x的集合上的函数。
如果对于X的每一个可能的取值x,另一个变量Y取值相应的值y=g(x),则称Y为X的函数。记作Y=g(x)