1.随机变量定义
先搬科学定义
定义 设随机变量试验的样本空间为 S S S 。 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e)是定义在样本空间的实值单值函数。称 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e)为随机变量。
解释
样本空间:就是试验中可能的取值。举个栗子,预测明天的天气情况如下:
天气 | 下雨 | 多云 | 晴天 |
---|---|---|---|
概率 | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
对于该表,样本空间 S S S就是{下雨、多云、晴天}集合。
X = X ( e ) X=X(e) X=X(e)为实值单值函数:啥叫实值单值函数?可以理解为一个值为实数的函数。
对于上面表格,e为天气的某一个取值,也就是说 e ∈ S e \in S e∈S, S S S为前面提到的样本空间。 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e)表示对样本空间一个取值进行一个映射。比如我可以将下雨->(映射到)1,多云->2,晴天->3。
所以,何为随机变量,随机变量就是对样本空间值的一个映射。本质上就是一个函数。别人问你随机变量是什么的时候,你就可以跟他说是一个函数。听起来是不是很牛逼哈哈哈。
为什么需要定义随机变量呢?是因为下雨多云晴天这种文字在数学中根本无法运算,为了在数学中能够参与运算,就将样本空间映射到实数范围内。还是为了能够计算哇。
2.举例
下面举个例子说明随机变量的应用
投一个骰子,X表示骰子的点数。问P(X=3)为多少?
很简单,高中生都知道为3点的概率是 1 6 \frac{1}{6} 61。
我们来科学的分析一下
p ( X = 3 ) = P ( { e ∈ S ∣ X ( e ) = 3 } ) ( 1 ) {\rm{p}}(X = 3){\rm{ = P}}(\{ e \in S|X(e) = 3\} )\ \ \ \ \ (1) p(X=3)=P({ e∈S∣X(e)=3}) (1)
这是根据 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e)随机变量的定义来写的。但此题题目中有隐含映射条件:X表示骰子的点数.说明了X函数在 e e e上的映射值就为 e e e,即 X ( e ) = e X(e)=e X(e)=e ,此问中将3点映射为实数3。所以(1)式子进而等于
p ( X = 3 ) = P ( { 3 点 } ) = 1 6 {\rm{p}}(X = 3){\rm{ = P}}(\{ 3点\} )=\frac{1}{6} p(X=3)=P({ 3点})=61
3.写在后面
才疏学浅,可能解释得不是太清楚,参考视频如下,人民大学博士讲得通俗易懂。
参考视频:https://www.bilibili.com/video/av78972740