大学数学：代数与几何（第一章）

数学研究的是各种各样的可以表述为数学概念的事物所组成的各类集合，以及同一集合或不同类集合中各种数学关系（运算或转换）和相应的数学结构。

• 定义1.7（等价关系）：集合X中的一个二元关系R称为等价关系，如果R是自反的、对称的和传递的。

  二元关系R：集合X中的任意两个元素a，b均可确定它们是适合R（$aRb$）或不适合R（$a\bar{R}b$）。
  自反：均有$aRa$
  对称：$aRb->bRa$
  传递：$aRb,bRc->aRc$
  e.g. $a,b\in Z, aRb:a,b模3同余$。 任意两个正整数同余或不同余。可以把正整数划分为3类：余0，余1，余2。每个类集合内的元素是等价的，都满足R关系，且不同集合交集为空。
  说明：等价关系可以划分集合X为不相交的几个子集

• 定义1.13 设X,Y是非空集，一元映射运算$\sigma$使X中的每个元素$\alpha$都有Y中的元素$\beta$与之对应，记作：

  $$\sigma:X \to Y$$
  并称$\beta$是$\alpha$在$\sigma$下的像，$\alpha$是$\beta$在$\sigma$下的原像
  $$\sigma: \alpha\mapsto \beta$$
  称X是$\sigma$的定义域，$\sigma(X)=\{\sigma(\alpha)|\alpha\in X\}$是$\sigma$的值域$Im\sigma$

几何向量与坐标

• 向量加法：平行四边形法则
• 向量数乘：伸缩
• 向量内积：做功，$(a+b)*c=(a*c)+(b*c)$

• 向量外积：结果是个向量。大小是平行四边形面积，方向是“右手法则”。仍满足分配律

• 向量的坐标表示：$r=xe_i+ye_j+ze_k$，然后按照前面的4个定义和性质，得出其在坐标下的表示。