高等数学 · 第一章 函数

第一节 实数

一、实数的定义

有理数与无理数统称为 实数 ，全体实数组成的数集成为实数集，用 $R$ 表示；用 $Q$ 表示有理数集， $Z$ 表示整数集， $N$ 表示自然数集。

二、区间和领域

区间

1. 列举法： $A = \{ 1,2,3,4 \}$
2. 属性法： $A = \{ n | n是小于5的正整数\}$ 或 $B = \{ x | 1 \lt x \lt 2 \}$

像这样由数轴上的“一段”连续的点构成的数集，我们称之为区间，记为 $(1,2)$，这是开区间。
如果数集为： $C = \{ y | 1 \le y \le 2 \}$，那么记为 $[1,2]$，这是闭区间。

邻域

我们经常会运用一种特殊的开区间 $(\alpha - \delta, \alpha + \delta)$，我们称这个开区间为点 $\alpha$ 的邻域，记为 $U(\alpha,\delta)$，即
$U(\alpha, \delta) = (\alpha - \delta, \alpha + \delta)$

称点 $\alpha$ 为邻域的中心， $\delta$为邻域的半径。

有时候，我们只考虑点 $\alpha$ 邻近的点，而不考虑点 $\alpha$ ,即考虑点集 $\{ x | \alpha - \delta \lt x \lt \alpha 且 \alpha \lt x \lt \alpha + \delta \}$，我们称这个点集为点 $\alpha$ 的 “去心邻域”，记为 ${U^\circ(\alpha,\delta)}$，即
$U^\circ = \{ x | \alpha - \delta \lt x \lt \alpha 且 \alpha \lt x \lt \alpha + \delta \}$

三、绝对值

设 $x$ 是一实数，用 $|x|$ 记 $x$ 的绝对值，其定义如下：
$|x| = \begin{cases} x & \quad x \ge 0, \\ -x & \quad x \lt 0. \end{cases}$

$|x|$ 的几何意义是 $x$ 到原点的距离。显然， $|x-y|$ 表示点 $x$ 与点 $y$ 之间的距离。

绝对值有以下性质：设 $x,y$ 是实数，则

1. $|x| \ge 0,$ 当且仅当 $x = 0$ 时才有 $|x| = 0;$
2. $|-x| = |x|;$
3. $|xy| = |x||y|;$
4. $a \gt 0, |x| \lt a$ 当且仅当 $-a \lt x \lt a;$
5. $-|x| \le x \le |x|;$
6. $|x + y| \le |x| + |y|;$
7. $|x - y| \ge ||x| - |y|| \ge |x| - |y|.$
   以上性质均可通过其他性质证明，基本上直接运用。

例题

1、已知不等式 $|\frac {2x + 1} { x - 1}| \lt 1$，求 $x$的取值范围。
解析： $-4 \lt x \lt {^2/_3}$，通过性质四，再分段求解即可。

第二节 函数的定义及其表示法

一、常量与变量

有些量在所考虑问题的过程中始终不变，保持定量，这些量我们称之为常量；而有些量在所考虑问题的过程中是变化的，他们刻在一定的范围内取不同的值，这些量我们称之为变量。

二、函数的定义

设 $x，y$是两个变量， $x$ 的变化范围是实数集 $D$.如果对于任何的 $x \in D$，按照一定的法则都有唯一确定的 $y$ 值与之对应，则称变量 $y$ 是变量 $x$ 的函数，记为 $y = f(x)$，称D是函数的定义域，x 为自变量，y为因变量.

对于一个确定的 $x_0 \in D$，与之对应的 $y_0 = f(x_0)$ 称为函数 $y$ 在点 $x_0$ 处的函数值，全体函数值的几何称为函数 $y$ 的值域，记为 $f(D)$ ，即
$f(D) = \{ y | y = f(x), x \in D \}$

函数的两要素：定义域和对应法则
“两个函数相等”意味着这两个函数的定义域相同，对应法则也相同。

常用的函数表示法：

1. 公式法——分段函数
2. 图像法
3. 表格法

函数的定义域

一般地，自然定义域应如此讨论:

1. 分式的分母不能为零
2. 开偶次方的被开方式子不能为负
3. 当方幂的指数是无理数或含有变数时，方底的式子应为正
4. 对数符号后的式子（真数）不能为负
5. 反正弦、反余弦符号后式子的绝对值不能大于1
6. 有限个函数由四则运算得到的新函数， 其定义域是各函数定义域的交集

参考例题

1. 计算题 : 求函数 $f(x) = \cfrac {1}{x + 1} \arcsin e^x$ 的定义域.
   [解析] :

   • $x + 1$ 作为分母不应该为 $0$.
   • 因为要考虑 $\arcsin x$ 的定义域, 所以 $e ^ x \in [-1,1]$

   计算求两者区间的交集就好.

第三节 函数的几种特性

1. 有界性 : $|f(x)| \le M$
2. 单调性 :
   1. 单调递增 : 如果 $x_1,x_2 \in I, x_1 \lt x_2$ , 都存在 $f(x_1) < f(x_2)$
   2. 单调递减 : 如果 $x_1,x_2 \in I, x_1 \lt x_2$ , 都存在 $f(x_1) \gt f(x_2)$
3. 奇偶性
   1. 偶函数 : 对于定义域中的任意 $x$ , 都存在 $f(-x) = f(x)$
   2. 奇函数 : 对于定义域中的任意 $x$ , 都存在 $f(-x) = -f(x)$

   ---

   其中，对于对于两个在定义域内有定义的函数 :
   1. 两个偶函数之和，之积为偶函数
   2. 两个奇函数之和为奇函数，之积为偶函数
   3. 一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数

   ---

4. 周期性 : 必然存在 $f(x+T) = f(x)$
   例如 $y = \sin x, y = \cos x, y = \tan x, y = \cot x 均为周期函数.$

第四节 反函数和复合函数

一、反函数

函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $D$，至于为 $f(D)$. 若对任何 $y \in f(D)$， 在 $D$ 内有唯一确定的 $x$ 使 $y = f(x)$, 则称这样形成的函数 $x$ 为 $y = f(x)$ 的反函数，记为 $x = f^{-1}(y)$, 相应地，也称函数 $y = f(x)$ 是直接函数(原函数).

对于反函数 $x = f^{-1}(y)$, 定义域是 $f(D)$, 值域是 $D$,
1. 单调函数具有反函数
2. 原函数与反函数关于 $y = x$ 对称

参考例题

1. 求 $y = \cfrac {e^x - e^{-x}} {2}$ 的反函数
   【解析】由 $y = \cfrac {e^x - e^{-x}} {2} \Rightarrow 2y = e^x - e^{-x}$，等式两边乘以 $e^x$ 可得：
   $(e^x)^2 - 2ye^x - 1 = 0$
   解关于 $e^x$ 的二次方程，得 $e^x = y \pm \sqrt {y^2 + 1}.$
   由于 $e^x \ge 0$, 所以只取 $e^x = y + \sqrt{y^2 + 1}$ .从而
   $x = ln(y + \sqrt{y^2 + 1}).$
   故反函数为 $y = ln(x + \sqrt{x^2 + 1}).$

二、复合函数

函数 $y = f(u), u \in D_u, u = \varphi(x), x \in D_x.$ 如果函数 $u = \varphi(x)$ 的值域 $\varphi(D)$ 包含在函数 $y = f(u)$ 的定义域 $D_u$ 内, 即 $\varphi(D_x) \subset D_u$, 那么,对任何 $x \in D$. 有 $u = \varphi(x)$ 与之对应,又有 $y = f(u)$ 与 $u$ 对应,从而对于任何 $x \in D$, 有确定的 $y$ 与之对应,形成 $y$ 是 $x$ 的函数,记为 $y = f(\varphi(x))\ \ (x \in D_x)$ , 称之为是由 $y = f(u)$ 和 $u = \varphi(x)$ 复合而成的复合函数. $y$ 是因变量, $x$ 是自变量, 称 $u$ 是中间变量.

参考例题

1. 计算题: 已知 $f(1+x) = x^2$, 求 $f(x)$.
   [解析] : 令 $1+x = u$, 则 $f(u) = (u-1)^2$, 所以 $f(x) = (x - 1)^2$.

第五节 初等函数

1. 基本初等函数
   • 常值函数 ( $y = c$)
   • 幂函数 ( $y = x^2$)
   • 指数函数 ( $y = a^x$)
   • 对数函数 ( $y = log_ax$)
   • 三角函数 ( $\begin{cases} y = \sin x \\ y = \cos x \\ y = \tan x \\ y = \cot x \\ \end{cases}$)
   • 反三角函数 ( $\begin{cases} y = \arcsin x \\ y = \arccos x \\ y = \arctan x \\ y = arccot \ x \end{cases}$)(与对应的三角函数互为反函数)
2. 初等函数
   由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成,并且在其定义域内具有统一的解析表达式的函数,称为初等函数.
3. 非初等函数
   代表性的例子 : 分段函数

第六节 总结