注：此博客写于 2018.4
Section 1 线性方程组初步
基本概念
可以写成矩阵形式，$ Ax = B\(。齐次线性方程组定义为，\)\forall; i = 1 \cdots n, b_i = 0$ （存在零解）
若 \(n=m\)，称之为 方阵，它的 主对角线 即为 \(\{a_{11},a_{22},a_{33},\cdots,a_{nn}\}\)
定义一种特殊的方阵， 对角矩阵： 满足 \(\forall\; i \not=j,a_{ij}=0\)，记为 \(\mathrm{diag}\{a_{11},a_{22},a_{33},\cdots,a_{nn}\}\)。而作为特殊的对接矩阵，纯量矩阵 定义为 \(\mathrm{diag}\{a_{11},a_{22},a_{33},\cdots,a_{nn}\}\)，\(\forall\; i = 1 \cdots n, a_{ii} = a\)，记为 \(\mathrm{diag}_n(a)\)。单位矩阵 \(\mathrm{diag}_n(1)\)，记为 \(E_n\)
上三角矩阵 \(n=m,\forall\; i > j,a_{ij} = 0\)，下三角矩阵 \(n=m,\forall\; i<j,a_{ij} = 0\)。方便起见，将方阵 \(A\) 化为上三角矩阵后的形式记为 \(\bar{A}\)
线性方程组的 相容性 指的是是否有解；而 确定性 指解是否唯一
初等变换 \(\Rightarrow\) 化为阶梯形
I型初等变换 交换两行
II型初等变换 其中一行加上另一行的常数倍
初等变换可逆，变换后在许多意义下等价
阶梯形线性方程组
设 \(r\) 是阶梯形线性方程组的行数
- 如果 \(\exists\; t>r,b_t \not= 0\)， 方程组不相容
- 自由变量 \(\Rightarrow\) 主未知数
- 如果 \(n=r\) ，方程组即为三角形式，存在唯一解
推论：\(n > m\) 时，相容的方程组是不定的
Section 2 低阶行列式
二阶行列式
\(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a _{22} \end{pmatrix}\) 的行列式 \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a _{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}\)
可以发现，\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} x_1 = \begin{vmatrix} b_1 & a_{21} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix}\) ，于是可以得到 \(x_1,x_2\) 的行列式表达
一般地，对于 \(x_i\) 只需要将第 \(i\) 列替换为 \(b_1,\cdots,b_n\) 即可
三阶行列式
对于三个未知数，两个齐次方程的线性方程组，令 \(y_1 = - \frac{x_1} {x_3}, y_2 = -\frac{x_2} {x_3}\)，可以得到关于 \(y_1,y_2\) 的二元方程组，进而得到二阶行列式表达。得到特解，
\[ x_1 = \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} \quad x_2 = \begin{vmatrix} a_{12} & a_{11} \\ a_{23} & a_{21} \end{vmatrix} \quad x_3 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} \]
如果 \(\exists\; i\in\{1,2,3\},x_i \not = 0\)，所有解都可以由特解乘以常数得到
考虑一个三元方程组，配上系数 \(c_1,c_2,c_3\)，可以消掉 \(x_2,x_3\)。最后得到关于 \(x_1\) 的二阶行列式表达，\(x_1\) 前的系数即为三阶行列式
\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} \]
Extra
命题：三阶行列式的六项不可能都是正的
proof
设 \(A\) 为所有 \(+\) 项的乘积，\(B\) 为所有 \(-\) 项的乘积，必然有 \(A+B=0\)
\(A,B\) 异号或均为 \(0\)，必然存在负的一项
对于二阶行列式，沿着主对角线翻转，值取为相反数；而对于三阶行列式，翻转后不变
Section 3 集合与映射
集合
如果 \(T \subset S\)，差集 \(S \backslash T\) 也称为 \(T\) 在 \(S\) 中的 补集
对于两个集合 \(X,Y\)，笛卡尔积 \(X \times Y = \{(x,y) | x \in X, y \in Y\}\) （由此可以定义多元函数）
例如 笛卡尔平方 \(\mathbb{R^2 = R \times R}\) 就表示实平面
对于有限集 \(A\)，其 基数 \(|A\)| 定义为 \(A\) 的元素个数
对于无限集 \(A\)，存在一一映射 \(f:X \rightarrow Y\) 与 \(\mathbb{N}\) 基数相同的集合，称作 可数集，记作 \(\large \aleph_{0}\)
映射
对于集合 \(X,Y\)，存在变换 \(f:X \rightarrow Y\)，即为 映射 （对应有 定义域，值域）
可以定义 象 \(\mathrm{Im} f = \{f(x) | x \in X\} = f(X) \subset Y\)
类似定义 原象 \(\begin{eqnarray} f^{-1}(Y_0) = \{x \in X | f(x) \in Y_0\} = \bigcup _{y \in Y_0} f ^ {-1} (y) \;(Y_0 \subset Y) \end{eqnarray}\)
定义域和值域是一个映射（函数）的本质部分（是映射相同的必要条件）
定义 单位映射 \(e_X: X \rightarrow X\)，指向自己
如果 \(X \subset X' , Y \subset Y', f:X\rightarrow Y, g:X' \rightarrow Y',\quad \forall x \in X, f(x) = g(x)\)，\(g\) 是 \(f\) 的 扩张，类似可以定义 收缩
定义映射的乘积（合成） \(fg(x) = f(g(x))\)
定理一：映射的合成满足结合律（直接运用定义证明）
定义 逆映射，设 \(f:X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X\)，如果 \(fg = e_Y\) 那么 \(f\) 是 \(g\) 的 左逆 ，\(g\) 是 \(f\) 的 右逆
如果存在 \(fg =e_Y, gf = e_X\)，\(g,f\) 互为 逆
引理：如果 \(gf = e_X\) 则 \(f\) 是单的，\(g\) 是满的（用单射 / 满射定义证明）
定理二：\(f:X \rightarrow Y\) 有逆，当且仅当 \(f\) 是双射（左推右，直接利用引理；右推左，根据定义）
推论：对于双射 \(f:X \rightarrow Y\)，\((f^{-1})^{-1} =f\)。如果 \(f:X \rightarrow Y, h: Y \rightarrow Z\) 都是双射，必定有 \(hf\) 也是双射，同时 \((hf)^{-1} = f^{-1} h^{-1}\)
定理三：\(X\) 是有限集，变换 \(f:X \rightarrow X\) 是单射，则 \(f\) 是双射（满射同理）（利用有限性，证明它是满射即可）
Extra
设 \(f:X \rightarrow Y,\; S \subset X, T \subset X\)，有 \(f(S \cup T) = f(S) \cup f(T), \quad f(S \cap T) \subset f(S) \cap f(T)\)
Section 4 关系
二元关系
对于集合 \(X,Y\)，定义 \(\omega \subset X \times Y\) 为 \(X,Y\) 间的一个 二元关系
\((x,y) \in \omega\) 用 \(x \omega y\) 表示，称 \(x,y\) 间有关系 \(\omega\)
例如 \(<\) 是 \(\mathbb{R}\) 的一个二元关系，由 \(\mathbb{R}\) 上位于 \(x=y\) 上方的点组成
等价关系
集合上的二元关系 \(\sim\) 叫做 等价关系，任取 \(x,x‘,x'' \in X\) 满足
- 反身性，\(x \sim x\)
- 对称性，\(x \sim x' \Rightarrow x' \sim x\)
- 传递性，\(x \sim x',x' \sim x'' \Rightarrow x \sim x''\)
可以定义 \(x\) 的 等价类 \(\overline{x} = \{ x' \in X | x' \sim x \} \subset X\)
定理：由 \(\sim\) 确定的等价类的集合是 \(X\) 的一个划分，是这些子集的不交并，记为 \(\pi _{\sim} (X)\)
商映射
简单来说，商映射 是将 \(x \in X\) 映射到对应的等价类
即定义满射 \(p: x \mapsto p(x) = \overline{x}\)，叫做 \(X\) 到 商集 \(X / \sim\) 的 自然映射
在某个给定的映射 \(f\) 下
定义映射 \(\overline{f}:X/\omega_f \rightarrow Y,\;\overline{f} (\overline{x}) = f(x)\)（不依赖于 代表元 \(\overline x\) 的选取）
于是有 \(f = \overline{f} \cdot p\)
序集
一个 全序集 \(X\)，存在二元关系 \(\le\) 满足反身性，反对称性和传递性。称 \(X\) 上有一个 偏序
联系图论中的DAG，可以定义 最大元，极大元，最小元，极小元
Section 5 数学归纳法
注意归纳基础
二重归纳原理
...
Section 6 置换
置换的记法
考虑一个 \(n\) 元有限集 \(\Omega = \{1,2,3,\cdots,n\}\)，置换 即为一一映射 \(\pi : i \mapsto \pi(i)\)，全体置换记作 \(S_n\)（显然有 \(|S_n| = n!\)。与一般的映射类似的，置换存在单位元，恒等映射 \(e = e_{\Omega}\)，同样可以定义乘法，满足同样的运算律
对于置换 \(\pi\)，一种方便的记法是 \(\large (i, \pi(i), \pi^2(i), \pi^3(i), \cdots, \pi^{n-1}(i))\)
置换的循环结构
定义置换 \(\pi\) 的 阶 \(q\)，满足 \(\langle \pi \rangle = \{e, \pi, \cdots, \pi^{q-1}\}\) 包含所有互不相同的方幂，同时 \(\pi ^ q = e\)
我们可以定义两个点 \(i,j \in \Omega\) 是 \(\pi\) 等价 的，当且仅当 \(\exists s \in \mathbb{Z},\; j = \pi ^ s(i)\)
于是我们将 \(\Omega\) 划分为若干类，\(\Omega = \Omega_1 \cup \cdots \cup \Omega_p\)，称之为 \(\pi\) 轨道
考虑其中一个 \(\pi\) 轨道 \(\Omega_k\)（令 \(l_k = \Omega_k\)），令 \(\pi_k = (i, \pi(i), \cdots, \pi ^ {l_k-1})\)，我们得到一个置换，称之为 长为 \(l_k\) 的置换（显然置换 \(\pi_k\) 使集合 \(\Omega \backslash \Omega_k\) 中的点不动，于是两个循环是 无关的）
所以 \(\pi\) 可以对应到乘积的分解 \(\pi = \pi_1 \pi_2 \cdots \pi_p\) （显然可以省略恒等置换）
运用数学归纳法即可证明：定理一： \(S_n\) 中的每一个置换 \(\pi \not= e\) 都可以唯一地分解为长度 \(\ge 2\) 且不相交的循环的乘积
接下来考虑长度为 \(2\) 的循环，称作 对换
一个简单的 推论：任何置换 \(\pi \in S_n\) 都可以表示为对换的乘积，而且并不唯一 （直接构造即可，比如 \((i_1,i_2,\cdots,i_l) = (i_1,i_l)(i_1,i_{l-1}) \cdots (i_1,i_2)\) ）
考虑 \(\pi \in S_n\)，分解为对换的乘积 \(\pi = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_k\)，定义 \(\epsilon_\pi = (-1)^k\) 为 \(\pi\) 的符号（奇偶性）
一个重要 定理二：\(\epsilon_\pi\) 的奇偶性是唯一确定的，与分解式无关，满足 \(\epsilon_{\alpha \beta} = \epsilon_\alpha \epsilon_\beta\)。 只需要考虑数学归纳法，找到 \(m\) 个因子变为 \(m-2\) 个因子的构造性依据（参见 \(\mathrm{page}\; 41\)）
显然如果 \(\pi \in S_n\) 会分解为 \(m\) 个循环（包括长度为 \(1\) 的），有 \(\epsilon_\pi = (-1)^{n-m}\)
构造 \(L_r : \pi \rightarrow \tau \pi\)，是一个一一映射，即可得到 结论：\(S_n\) 中奇置换个数等于偶置换个数
定义一个 \(n\) 元函数 \(f\) 是 斜对称的，当且仅当交换相邻变量的位置时，函数变号。数学归纳法可以得到 推论：交换任意两个变量，函数变号，运用这个推论也可以证明定理二
Extra
定义 \(\begin{eqnarray} \mathrm{sgn}(\pi) = \prod _ {1 \le i < j \le n} \frac {\pi(j) - \pi(i)} {j-i} \end{eqnarray}=(-1)^k\)，\(k\) 即为置换的逆序对个数，显然有 \(\epsilon_\pi =\mathrm{sgn}(\pi)\)
只需要构造对换，使得每一次对换减少一个逆序对。具体地，假设 \(1,2,\cdots,i-1\) 已经排列完毕，在 \(i-1\) 到 \(i\) 中间的数都比 \(i\) 要大，每一次将 \(i\) 和前面一个元素交换，即可减少一个逆序对，直到 \(i,i-1\) 相邻
Section 7 整数的算术
算术基本定理：任意正整数 \(n \not= 1\) 必定能唯一地分解为素数的乘积 （尽管非常显然，定理只涉及到整除的性质，但是定理的证明需要用到 \(\mathbb{Z}\) 中的加法与乘法运算）