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命题与连接词
非真即假的陈述句称为命题
作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值，真值只有真或假两个值
真值为真的命题称为真命题
真值为假的命题称为假命题
任何命题的真值都是唯一的
“因为，所以
”是由两个更简单的命题
和
所组成，这两个简单的命题已经不能再分解成更简单的命题了，因此我们将其称为简单命题或者原子命题，在命题逻辑中，简单命题是最小的基本单位，对于其不再细分，对于由简单命题通过连接词链接而成的命题，称作复合命题
判断是否为命题：
1.首先判定其是否为陈述句
2.其次判断它是否有唯一的真值
判断下列句子是否为命题
1.2050年元旦是晴天
属于命题，作为命题，是否知道他的真值并不重要，重要的是它有唯一的真值
2.我正在说假话
不属于命题，能由真推出假、又能由假推真，从而既不能为真也不能为假的陈述句称为悖论
3.火星上有水
属于命题，真值是客观存在的，而且是唯一的
定义1.1
设p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式，记作┐p，符号┐称作否定联结词，规定┐p为真当且仅当p为假
定义1.2
设p,q为两个命题，复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作pq，
称作合取联结词，规定p
q为真当且仅当p与q同时为真
将下列命题符号化
1.吴颖虽然聪明，但不用功
p:吴颖聪明，q:吴颖用功 pv(┐q)
2.张辉与王丽是三好学生
p:张辉是三好学生，q:王丽是三好学生 pq
3.张辉与王丽是同学
虽然句子中含有与，但是与联结该句主语中的两个人，而整个句子仍然是简单陈述句，所以3是原子命题，t:张辉与王丽是同学
定义1.3
设p,q为两个命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作pvq，v称为析取联结词，规定pvq为假当且仅当p与q同时为假
要注意的是，这里定义的析取词v和自然语言中的或不完全一样，自然语言中的“或”具有二义性，用它时具有相容性(即它联结的两个命题可以同时为真)，有时具有排斥性(即只有当一个为真，一个为假时，才为真)，对应的分别称为相容或和相斥或
定义1.4
设p,q为两个命题，复合命题“如果p则q”称为p与q的蕴含式，记作p->q，并称p是蕴含式的前件，q是蕴含式的后件，->称为蕴含联结词，并规定p->q为假当且仅当p为真q为假
p->q的逻辑关系为q是p的必要条件
1.p->q成立的叙述方式：
只要p，就q
因为p，所以q
p仅当q
只有q才p
除非q才p
除非q，否则非p
2.只要前件为假，后件不管是真是假，这句话都是对的
3.p->q仅表示p、q的取值关系，与其二者内在联系无关
定义1.5
设p,q为两个命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p->q，<->称为等价联结词，规定p<->q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假
p<->q的逻辑关系为p与q互为充分必要条件
至此，我们可以列出否定联结词、合取联结词、析取联结词、蕴含联结词、等价联结词的真值表
| p | q | ┐p | p |
pvq | p->q | p<->q |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
注意联结词的优先级：()、 ┐、、v、->、<->
命题公式及其赋值
上节讨论了简单命题(原子命题)和复合命题以及它们的符号化形式，简单命题是命题逻辑中最进本的研究单位，其真值是确定的，又称为命题常项或命题常元，命题常项相当于初等数学中的常数，初等数学中还有变量，相应的，这里有命题变项。取值1或0的变元称作命题变相或者命题变元，可以用命题变项表示真值可以变化的陈述句，命题变项不是命题，命题变项与命题常项的关系如同初等数学中变量与常量的关系
将命题变项用联结词和圆括号按照一定的逻辑关系联结起来的符号串称为合式公式，当使用联结词集{ ┐,,v,->,<->}时，合式公式的定义如下：
定义1.6
1.单个命题变项是合式公式，并成为原子命题公式
2.若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式
3.若A、B是合式公式，则(AB)、(AvB)、(A->B)、(A<->B)是合式公式
4.有限次的应用1~3形成的符号串是合式公式
合式公式也称作命题公式或命题形式，简称公式
设A为合式公式，B为A中的一部分，若B也是合式公式，则称B是A的子公式
定义中引入了A、B等，用他们表示任意的合式公式，称作元语言符号
p、qvp等称作对象语言符号
元语言是指用来描述对象语言的语言
对象语言是指用来描述研究对象的语言
定义1.7
1.若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式
2.称A是n+1(n >= 0)层公式是指下面情况之一：
(a)A = ┐B，B是n层公式
(b)A = B C，其中B、C分别为i层和j层公式，则n = max(i,j)
(c)A = B v C，其中B、C的层次及n同(b)
(d)A = B -> C，其中B、C的层次及n同(b)
(e)A = B <-> C，其中B、C的层次及n同(b)
3.若公式A的层次为k，则称A是k层公式
定义1.8
设p1,p2,p3...pn是出现在公式A中的全部命题变项，给p1,p2,p3...pn各指定一个真值，称为对A的一个赋值或解释，若指定的一组使A为1，则称这组值为A的成真赋值，若使A为0，则称这组值为A的成假赋值
不难看出，含n(n>=1)个命题的公式共有个不同的赋值
定义1.9
将命题公式A在所有的赋值下取值情况列成表，称作A的真值表
构造真值表的步骤如下：
1.找出公式中所含的全体命题变项p1,p2,p3...pn(若无下角标就按字母顺序排列)，列出
个赋值，赋值从00...0开始，然后按照二进制加法每次加一，依次写出每个赋值，直到111...1为止
2.按照从低到高的顺序写出公式的各个层次
3.对应各个赋值计算出各层次的真值，直到计算出公式的真值
如果两个公式A与B的真值表对所有的赋值最后一列都相同，及最后的结果相同，则称这两个真值表相同，而不考虑真值表的中间过程
例如写出(┐pq)->┐r的真值表
| p | q | r | ┐p | ┐r |
┐p |
(┐p |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
由此可以计算出其成假赋值为011，其余七个均为成真赋值
定义1.10
设A为任一命题公式
1.若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A为重言式或永真式
2.若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式
3.若A不是矛盾式，则称A为可满足式
从其中可以看出一下几点
1.A是可满足式的等价定义为：A至少存在一个成真赋值
2.重言式一定是可满足式，但反之不真，若公式A式可满足式，且它至少存在一个成假赋值，则称A为非重言式的可满足式
3.真值表可用来判断公式的类型
(1)若真值表的最后一列全为1，则公式为重言式
(2)若真值表的最后一列全为0，则公式为矛盾式
(3)若真值表的最后一列中至少有一个为1，则公式为可满足式
设公式A、B中共含有命题变项p1、p2、p2...pn，而A或B中不全含这些命题变项，例如A中不含pi、pi + 1、pi + 2...pn(i >= 2)，称这些命题变项为A的哑元，A的取值与哑元无关，因而在讨论A与B是否有相同的真值表是，可以将A、B都看作含p1、p2、p2...pn的命题公式