组合数学（第一章 预备知识）

一、几何、关系、函数

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集合： 集合分为无重集和多重集，多重集的元素出现的次数，叫做该元素的重数。
基数： 给定集合A，称A中的元素个数为集合A的基数，记做 $|A|$。若$|A|=n$，称A为一个 n-集合 。
幂集 给定集合A，称A所有子集构成的集合为集合A的幂集，记做$P(A)$。易证 $|P（A）| =2^n$。

图 所谓的图便是点集和边集的集合，记做$G=(V,E)$。边就是两个点的组成，即为$E\in \begin{pmatrix}v\\2\end{pmatrix}$，易证$\begin{pmatrix}v\\2\end{pmatrix}=\dfrac{n(n-1)}{2}$ 。
所以易证以V为顶点集的图的个数为 $2^{\dfrac{n(n-1)}{2}}$。

划分： 若A的非空子集的集合$P=\begin{Bmatrix} A1,A2,A3,……,Ak\\ \end{Bmatrix}$。满足$A = \cup_{i=1}^{k}Ai$,则称P是集合A的一个划分。
Cartesion积 $A*B = \begin{Bmatrix}(a,b) | a\in A,b\in B \end{Bmatrix}$；
可知：$|A * B| = |A| * |B|$ 。

自反 是自己指向自己。即对于所有的a，$f（a）=a$。
对称 所有 $(a,b)\in R$，有$(b,a)\in R$ 。
传递 有$(a,b)\in R,(b,c)\in R$ 。则$(a,c)\in R$ 。

等价关系 设R是集合A上的一个二元关系。若R是自反的、对称和传递的。则称R是定义在A上的一个等价关系。即若$(x,y)\in R$，则称x等价于y，记做x ~y。

映射 设 f 是从A到B的一个二元关系。若f满足$|f(a)| = 1$（等于1意义着唯一的a->唯一的b），则称为f是从A到B的一个映射。
单射 没有多对一
满射 B被A完全对应。

二、偏序集

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偏序集：设X是一个非空集合，$P$是定义在$X$上的具有自反性、反对称性和传递性的二元关系，则称$(X,P)$是一个偏序集，$P$为偏序关系。
例1.2.2： 集合A由正整数组成的集合，规定$a \leq b$当且仅当$a|b$，易证是偏序集。
全序集： 任意两个元素之间有序的集合就是全序集。若不存在有序则称为反链。
子偏序集、高度、宽度…… 这些容易理解
易证那么对于整除关系决定的偏序集$(Z^+,|)$，易证$\begin{Bmatrix} m | m = 2^k,k \in N \end{Bmatrix}$是子偏序集（全序集），那么子偏序集$\begin{Bmatrix} p | p\quad is\quad prime\\ \end{Bmatrix}$是反链。
事实 对于$P$的两个子偏序集$A$和$B$，$A$是链，$B$是反链，则$|A\cup B| \leq 1$。

极小元 极小元是对于偏序集$X$，没有异于a的元素x满足$x \leq a$，则称$a$为极小元；
极大元 极大元是对于偏序集$X$，没有异于a的元素x满足$a \leq x$，则称$a$为极大元；
最小元 最小元是对于偏序集$X$，所有的元素x均满足$a\leq x$，则称$a$为最小元；
最大元 最大元是对于偏序集$X$，所有的元素x均满足$x \leq a$，则称$a$为最大元；
易证： 所有极大元是一个反链，所有极小元也是一个反链。
易证： 设偏序集$(X,\leq)$的高度为$n$，则存在划分$X = \cup_{i=1}^nAi$ 使每一个Ai都使反链。
Dilworth定理 设有限偏序集$(X,\leq)$的宽度为$m$，则存在划分 $X = \cup_{i=1}^mCi$，使每一个$Ci$都是链。

三、初等计数方法

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分为加法原理 和 乘法原理。
组合数： n个元素选取r个，一共有$C_n^r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ 。记做$\begin{pmatrix}n\\r\\ \end{pmatrix}$，读“n选取r”。
那么现在有$r_1个a_1，r_2个a_2……r_k个a_k$。那么就是$\begin{pmatrix}n\\r_1\\ \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}n-r_1\\r_2\\ \end{pmatrix}*……*\begin{pmatrix}n-r_1-r_2-……-r_{k-1}\\r_k\\ \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{r_1!r_2!……r_k!}$.
这叫做多重组合数。
排列数 $P(n,r)=n(n-1)(n-r-1)=\dfrac{n!}{(n-r)!}$ 。
环排列： 从n个不同的元素挑选r个排列成一个圆环，称为环排列。易知r的环排列包括r个线排列。所以情况数为$\dfrac{n!}{r(n-r)}$。特殊的，n的环排列为$(n-1)!$。
例题1.3.5. 8对夫妇坐成一排，每对夫妇都要坐在一起，则有多少种坐法？若围着圆桌坐，有多少种坐法？ $2^88!$ 、 $2^8*7!$
例 1.3.8. 把集合$\begin{Bmatrix} 1,2,……,n \\ \end{Bmatrix}$划分成$b_1$个1-子集，$b_2$个2-子集……$b_k$个k-子集，恰好是集合的一个划分，求这样的分法有多少种？ $\dfrac{n!}{b_1!b_2!…b_k!(1!)^{b_1}(2!)^{b_2}…(k!)^{b_k}}$

重点

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例： $n$个元素，选出基数为$r$多重集的组合数?
这个问题等价于$x_1+x_2+……+x_n=r$ 。
这个问题又等价于$r$个$|$与$n-1$个$+$的序列的个数
所以答案是$\begin{pmatrix}r+n-1\\r \end{pmatrix}$ 。

例题： 字符串NASHVILLETENNESSEE重排列，使第一个N在S之前，并且T在第一个E之后，求组合数？
1、先E再T。$\begin{pmatrix}5\\1\\ \end{pmatrix}$
2、先N后S。$\begin{pmatrix}5\\2\\ \end{pmatrix}$
3、剩下的。 $\begin{pmatrix}6\\2,1,1,1,1\\ \end{pmatrix}=\dfrac{6!}{2}$
4、合并前三个$\begin{pmatrix}5\\1\\ \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}5\\2\\ \end{pmatrix}*(\dfrac{6!}{2})*\begin{pmatrix}18\\6,6,6\\ \end{pmatrix}$

组合恒等式

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字丑见谅。。
Lucas定理：
p为素数，将m，n写成p进制，m=a0+a1*p^1+……+ak * p^k，n同理。
则（m，n）==∏ i (0->k) （ai，bi） (mod p)
严谨性证明有点长，不想看了，有兴趣自己百度，或者组合数学 P17。
可以用来快速求组合数。
代码：

const int mod=1009;
ll inv(ll x){
    return x==1?1:(mod-mod/x)*inv(mod%x)%mod;
}
ll C(ll n,ll m){
    if(m<0||n<m)return 0;
    if(m>n-m)m=n-m;
    ll zi=1,mu=1;
    for(ll i=0;i<m;i++){
        zi=zi*(n-i)%mod;
        mu=mu*(i+1)%mod;
    }
    return zi*inv(mu)%mod;
}
ll lucas(ll n,ll m){
     ll ans=1;
     while(n&&m&&ans){
        ans=ans*C(n%mod,m%mod)%mod;
        n/=mod,m/=mod;
     }
     return ans;
}

多项式定理

例题： (x1+x2+x3+x4+x5)^10中x1^3 * x2 * x3^4 * x5^2
ans = （10，（3，1，4，0，2））=12600

That’s all。