洛谷【P1048 采药】题解

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分析:典型的01背包问题,设dp[i][j]为空间(也就是题面中的时间)是j的背包在装前i个物品(草药)所得的最大价值,v[i]为第i个物品的重量(采药的时间),w[i]为第i个物品(草药)的价值,则有:

当j>v[i]时,dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]}

当j<=v[i]时,dp[i][j]=dp[i-1][j]

接下来,我们就来详细解析一下我们的前辈是怎样得到这个公式的。(知道的可以跳过)


假设我们现在有这样一组数据:

10 4

3 4

4 7

6 11

8 16

我们需要列一个表格,来模拟dp数组变化的过程。(不要使用上面的状态转移方程,要手推,这样才能理解这个方程!!)

如果你模拟的没错的话,表格最后会是这样的:

我们发现,dp[i][j]总比上面的dp[i-1][j]多(或相等),这是为什么呢?(请仔细想想,在阅读下面的文字)


因为,dp[i][j]表示的是空间是j的背包在装前i个物品所得的最大价值,少装一个物品(也有可能装的一样)不可能比多装一个物品的价值高,对吧?O(∩_∩)O

因为上一行(dp[i-1][j])已经把能装的都装了,所以我们只需要考虑当前物品是否能装的下当前的背包就可以了。

所以,有了这个神奇的状态转移方程:

当j>v[i]时,f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]}

当j<=v[i]时,f[i][j]=f[i-1][j]


ok,说了这么多,终于到了大家期待的代码环节:

献上本蒟蒻的代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 
int main()
{
    int n,m;
    int w[105],v[105],dp[105][1005];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int i,j;
    scanf("%d %d",&m,&n);
    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&v[i],&w[i]);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=0;j<=m;j++)
        { 
            if(j<v[i]) dp[i][j]=dp[i-1][j];
            else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }       
    }
    printf("%d\n",dp[n][m]);
    return 0;
}

但是------------------

这个代码是能进行空间优化的!(虽然这道题不需要)

考虑到状态转移方程只对上一行(dp[i-1][j])进行操作,所以我们可以将dp数组从这样:

dp[105][1005]

变成这样:

dp[1005](详见代码)

这,就是传说中的滚动数组

当然,优化了空间之后,中间的操作也需要一些特殊的操作。(详见代码)

献上本蒟蒻的滚动数组代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 
int main()
{
    int n,m;
    int w[105],v[105],dp[1005];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int i,j;
    scanf("%d %d",&m,&n);
    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&v[i],&w[i]);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=m;j>=0;j--)
            if(j>=v[i]) dp[j]=max(dp[j-v[i]]+w[i],dp[j]);
    printf("%d\n",dp[m]);
    return 0;
}

评测结果:

不加空间优化:

加滚动数组空间优化:

虽然好像没什么变化

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转载自www.cnblogs.com/juruo-zzt/p/11808651.html