数论-莫比乌斯反演

(数论-莫比乌斯反演)

小学生一发

一篇比较数学的博客，最近在学习莫比乌斯反演，这是数论上比较重要的一个定理，平时刷数论的题目也比较容易遇到，所以还是书此文来加深一下印象。

莫比乌斯反演的引入

考虑如下求和函数:
$F(n)=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)$
我们有如下结论:
$f(n)=\displaystyle\sum_{d|n} \mu(d)F(\frac{n}{d})$
$\mu(x)$的定义如下:
当 $x=1$时， $\mu(x)=1$, 当 $x=p_1p_2p_3\dots p_n$ ( $p$为不同的质数，且次数都为1)， $\mu(x)=(-1)^n$, 其余情况 $\mu(x)=0$, $\mu(x)$为积性函数.
积性函数定义为:
积性函数：对于任意互质的整数 $a$和 $b$有性质$f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。(证明比较简单就不说了)

莫比乌斯反演定理

设 $f(n)$和 $g(n)$是定义在正整数集合上的两个函数，定义如下：
$f(n)=\displaystyle\sum_{d|n} g(d)=\displaystyle\sum_{d|n} g(\frac{n}{d})$
$g(n)=\displaystyle\sum_{d|n} \mu(d)f(\frac{n}{d})=\displaystyle\sum_{d|n} \mu(\frac{n}{d})f(d)$
则 $f(n)=g(n)$.

莫比乌斯反演定理证明

充分性证明:
$f(n)=\displaystyle\sum_{d|n} g(d)=\displaystyle\sum_{d|n} g(\frac{n}{d})$
$\displaystyle\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})=\displaystyle\sum_{d|n} \mu(d)\displaystyle\sum_{d1|\frac{n}{d}}g(d_1)$
$\displaystyle\sum_{d|n} \displaystyle\sum_{d_1|(\frac{n}{d})} \mu(d)g(d_1)$
$\displaystyle\sum_{d_1|n} \displaystyle\sum_{d|\frac{n}{d_1}} \mu(d)g(d_1)=\displaystyle\sum_{d_1|n} g(d_1) \displaystyle\sum_{d|\frac{n}{d_1}} \mu(d)=g(n)$

考虑到:
$\displaystyle\sum_{d|\frac{n}{d_1}} \mu(d)=\binom{1,d_1=n}{0,d_1<n}$
因此
$f(n)=\displaystyle\sum_{d|n} g(d)=\displaystyle\sum_{d|n} g(\frac{n}{d})$
$g(n)=\displaystyle\sum_{d|n} \mu(d)f(\frac{n}{d})=\displaystyle\sum_{d|n} \mu(\frac{n}{d}) f(d)$

必要性证明同理;

莫比乌斯反演的性质

1. $f(n)=\displaystyle\sum_{d|n} \mu(d)F(\frac{n}{d})$
2. $\mu(n)$是积性函数
3. 设 $f$是算术函数，它的和函数 $F(n)=\displaystyle\sum_{d|n} f(d)$是积性函数，那么 $f$也是积性函数

AC代码:

新的开始，每天都要快乐哈。