大二下：概率论与数理统计复习 2.随机变量及其分布之实例演战

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1.

一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5。在袋中同时取出3只球，3只球的最大编号为X，求随机变量X的分布律。
解:

X	3	4	5
P	0.1	0.3	0.6

$P(X=3)=\frac{C_2^2}{C_5^3}=0.1,\ P(X=4)=\frac{C_3^2}{C_5^3}=0.3, \ P(X=5)=\frac{C_4^2}{C_5^3}=0.6$

2.

某吧台柜台前有吧凳7张，无人就坐，现有2个客人进来随机就坐，则两人就坐相隔凳子数X的概率分布为。
解：
$总数：C_7^2A_2^2=42$

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{6}{21}$	$\frac{5}{21}$	$\frac{4}{21}$	$\frac{3}{21}$	$\frac{2}{21}$	$\frac{1}{21}$

$\begin{aligned} &P(X=0)=\frac{(7-1)\times A_2^2}{42}=\frac{6}{21} &P(X=1)=\frac{(7-2)\times A_2^2}{42}=\frac{5}{21} \\ &P(X=2)=\frac{(7-3)\times A_2^2}{42}=\frac{4}{21} &P(X=3)=\frac{(7-4)\times A_2^2}{42}=\frac{3}{21} \\ &P(X=4)=\frac{(7-5)\times A_2^2}{42}=\frac{2}{21} &P(X=5)=\frac{(7-6)\times A_2^2}{42}=\frac{1}{21} \\ \end{aligned}$

3.

设随机变量X的分布律为：

X	0	1	2
$p_k$	0.3	0.5	0.2

求X的分布函数 $F_x(x)$。
解：
$F_x(x)=P(X\le x)$
$F_x(x)= \left\{ \begin{aligned} &0, &x<0\\ &0.3, &0\le x<1\\ &0.8, &1\le x<2\\ &1, &x\ge2 \end{aligned} \right.$

注：这类问题有套路，对于分布律为

X	A	B	C
$p_k$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$

的随机变量X，其分布函数为：
$F(x)= \left\{ \begin{aligned} &0, &x<A,\\ &\alpha, &A\le x<B,\\ &\alpha+\beta, &B\le x<C,\\ &1, &x\ge C. \end{aligned} \right.$
$分布律X有n个取值，分布函数大括号后面就有n+1行；分布函数第一行取值为0，最后一行取值为1(\alpha+\beta+\gamma=1)，中间为概率逐个相加，自行体会。$

4.

随机变量X的分布律为：

X	-2	-1	0	1	2
$p_k$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{11}{30}$

$求Y=(X-1)^2的分布律；Y的分布函数F_Y(y)。$
分析：求离散随机变量函数的分布律，分两步：

1. 根据X的值求出对应的Y的值；
2. 求出的Y值如果相等，则合并起来，对应概率值相加，再写出对应分布律。

解：求对应Y的值：

X	-2	-1	0	1	2
Y	9	4	1	0	1
$p_k$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{11}{30}$

合并相同取值得到Y的分布律为：

Y	9	4	1	0
$p_k$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{17}{30}$	$\frac{1}{15}$

从小到大重排为：

Y	0	1	4	9
$p_k$	$\frac{1}{15}$	$\frac{17}{30}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{5}$

Y的分布函数：
$F_Y(y)= \left\{ \begin{aligned} &0, &y<0,\\ &\frac{1}{15}, &0\le y<1,\\ &\frac{19}{30}, &1\le y<4,\\ &\frac{4}{5}, &4\le y<9,\\ &1, &9\le y. \end{aligned} \right.$

5.

$设随机变量X\sim P(\lambda)(泊松分布)，且P(X=0)=e^{-2}，则常数\lambda =\underline{2}, 概率P(X\le2)=\underline{5e^{-2}}.$
解：
$P(X=k)=\frac{\lambda^k\cdot e^{-\lambda}}{k!}$
$P(X=0)=\frac{e^{-\lambda}}{0!}=e^{-\lambda}\hat=e^{-2}\Rightarrow \lambda=2$
$\begin{aligned}P(X\le2)&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ &=e^{-2}+\frac{2\cdot e^{-2}}{1!}+\frac{2^2\cdot e^{-2}}{2!}=5e^{-2}\end{aligned}$

6.

$设随机变量X\sim U(1,6)(均匀分布)，则X的概率密度函数为，关于t的二次方程t^2-Xt+1=0有实根的概率为.$
解：均匀分布的概率密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{b-a}, &a<x<b\\ &0, &其他\end{aligned}\right.,\quad$则X的概率密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{5}, &1<x<6\\ &0, &其他\end{aligned}\right.;\\ 方程t^2-Xt+1=0有实根的充要条件是：\Delta=X^2-4\ge0\Leftrightarrow|X|\ge2, 于是所求概率为P(|X|\ge2)=1-P(|X|<2)=1-P(-2<X<2)=1-\int_{-2}^2f(x)dx=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$

7.

$设随机变量X服从指数分布，概率密度为f(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{4}e^{-\frac{x}{4}}, &x>0\\ &0, &x\le0\end{aligned}\right.,\ 则方程t^2-2Xt+(X+2)=0无实根的概率为$
解：
方法一：
$方程t^2-2Xt+(X+2)=0无实根的充要条件是：$
$\delta=4X^2-4(X+2)=4(X-2)(X+1)<0\Leftrightarrow-1<X<2.$
$于是所求概率为：$
$\begin{aligned}P(-1<X<2)&=\int_{-1}^{2}f(x)dx\\ &=\int_{-1}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{2}f(x)dx\\ &=0+(-e^{-\frac{x}{4}}|^2_0)\\ &=1-e^{-\frac{1}{2}} \end{aligned}$
方法二：
$\because指数分布的概率分布函数：F(x)=1-e^{-\lambda x}\\ \therefore P(-1<X<2)=F(2)-F(-1)=F(2)-0=1-e^{-\lambda x}=1-e^{-\frac{1}{4}\times2}=1-e^{-\frac{1}{2}}$

8.

$某人家住市区西郊，在东郊上班，上班的第一条线路是横穿市区，所需时间X\sim N(30,10^2)，第二条线路是沿环城公路，所需时间Y\sim N(40,4^2)（单位均为分钟），某天他提前50分钟出发，那么他该选择第\underline{\ 2\ }条线路。$
解：此题的意思是让我们求哪条线路用时会大于50分钟的概率比较小，也就是求P(X>50)和P(Y>50)。标准化求得：
$\because 对于X\sim N(\mu, \sigma^2)有P\{X>x\}=P\{\frac{X-\mu}{\sigma}>\frac{x-\mu}{\sigma}\}=1-\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})$
$\begin{aligned} \therefore&P(X>50)=P(\frac{X-30}{10}>\frac{50-30}{10})=P(Z>2)=1-P(Z\le2) \\&\qquad\qquad\ \ \ =1-\Phi(2)=1-0.9772=0.0228\\ &P(Y>50)=P(\frac{X-40}{4}>\frac{50-40}{4})=1-\Phi(2.5)=1-0.9938=0.0062 \end{aligned}$
$可以看出P(Y>50)的值较小，因此应该选择第二条线路。$

9.

$设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{2}{\pi\sqrt{1-x^2}}, &0<x<c\\ &0, &其他\end{aligned}\right.$
$(1)确定c的值；(2)求X的分布函数F(x).$
解：
$(1)\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\Rightarrow\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2}{\pi\sqrt{1-x^2}}dx=1$
$\Rightarrow\int_{0}^{c}\frac{2}{\pi\sqrt{1-x^2}}dx=1\Rightarrow\frac{2}{\pi}\arcsin{x}|_0^c=\frac{2}{\pi}\arcsin{c}\hat=1$
$\Rightarrow\arcsin{c}=\frac{\pi}{2}\Rightarrow c=1$
$(2)显然分布函数分段点为0和1，则：$
$当x<0时，F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt=0;$
$当0\le x<1时，F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\int_0^x\frac{2}{\pi\sqrt{1-t^2}}dt=\frac{2}{\pi}\arcsin{t}|_0^x=\frac{2}{\pi}\arcsin{x};$
$当x\ge1时，F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\int_{-\infty}^0f(t)dt+\int_0^1f(t)dt+\int_1^{-\infty}f(t)dt=1;$
所以，随机变量的分布函数为： $F(x)=\left\{\begin{aligned} &0, &x<0\\ &\frac{2}{\pi}\arcsin x, &0\le x<1\\&1, &x\ge1\end{aligned}\right.$

$注：若随机变量X的概率密度为：f(x)=\left\{\begin{aligned} &g(x), &a\le x<b,\\ &0, &其他\end{aligned}\right.$
$则X的分布函数为：f(x)=\left\{\begin{aligned} &0, &x<a\\&\int_a^xg(t)dt, &a\le x<b\\ &1, &x\ge b\end{aligned}\right.$

10.

$设连续型随机变量X的分布函数为f(x)=\left\{\begin{aligned} &A+Be^{-2x}, &x>0,\\ &0, &x\le0.\end{aligned}\right.$
$(1)确定A,B的值;$
$(2)求P(-1<x<1);$
$(3)求概率密度函数f_x(x);$
$(4)若Y=3X+1,求概率密度函数f_Y(y).$
$解： $
$(1)$
$\begin{aligned} &\lim_{x \to +\infty}(A+Be^{-2x})=A\hat{=}1\Rightarrow A=1\\ &\lim_{x \to 0^+}F(x)=0\Rightarrow \lim_{x \to 0^+}(A+Be^{-2x})=1+B\hat{=}0\Rightarrow B=-1\\ &\therefore A=1, B=-1 \end{aligned}$
$(2)P(-1<x<1)=F(1)-F(-1)=1-e^{-2}-0=1-e^{-2}$
$(3)$
$\because (-e^{-2x})'=-e^{-2x}\cdot(-2)$
$\therefore f_x=\left\{\begin{aligned} &2e^{-2x}, &x>0,\\ &0, &x\le0.\end{aligned}\right.$
$(4)\because F_Y(y)=P(Y\le y)=P(3X+1\le y)=P(X\le\frac{y-1}{3})=F_X(\frac{y-1}{3})$
$\therefore f_Y(y)=f_X(\frac{y-1}{3})\cdot\frac{1}{3}=\left\{\begin{aligned} &\frac{2}{3}e^{-2\cdot\frac{y-1}{3}}, &\frac{y-1}{3}>0,\\ &0, &\frac{y-1}{3}\le0.\end{aligned}\right.=\left\{\begin{aligned} &\frac{2}{3}e^{\frac{-2(y-1)}{3}}, &y>1,\\ &0, &其他 \end{aligned}\right.$

11.

$设某种型号的电子元件的寿命X(单位：小时)的概率密度函数为：$
$f_X(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{1000}{x^2}, &x>1000,\\ &0, &其他.\end{aligned}\right.$
$(1)求元件的使用寿命在1500小时以下的概率；$
$(2)现有5个这种元件独立工作，以Y表示其中寿命小于1500小时的元件个数，写出Y的分布律；$
$(3)求这5个元件中最多有1个寿命小于1500小时的概率。$
$解：$
$(1)：P(X<1500)=\int_{-\infty}^{1500}f_x(x)dx=\int_{1000}^{1500}\frac{1000}{x^2}dx=[-\frac{1000}{x}]_{1000}^{1500}=\frac{1}{3}$
$(2)：Y服从二项分布：Y\sim b(5,\frac{1}{3}).$
$则分布律为：P(Y=k)=C_5^k(\frac{1}{3})^k(\frac{2}{3})^{5-k},\quad k=0,1,2,3,4,5$

Y	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{1}{243}$

$(3):P(Y\le1)=P(Y=0)+P(Y=1)=\frac{32}{243}+\frac{80}{243}=\frac{112}{243}$