偏微分方程的图像修复方法研究

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2.2.1 偏微分方程基础知识
偏微分方程的特点是变量及其导数同时出现在方程式中。如果微分方程中待求解的未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程就称为偏微分方程。
在科学日益发展的今天，解决许多的问题只是在一个函数中使用一个未知数已经远远不够了，许多的问题（比如热传导问题）决定因素都是多个的，需要建立多个未知数的函数去求解。有时我们需要确定函数在一个因素变化时的变化量，我们就要求函数在这个因素上的偏导数，如果我们又知道这个偏导数满足一定的条件，那么这是就可以用偏微分方程来解决问题。大多数偏微分方程并不是独立存在的，都与某个实际问题有密切的联系，或者从实际问题中导出来。偏微分方程最初用来解决物理学中的实际问题，所以也被称为数学物理方程。
偏微分方程是一个十分复杂的研究对象，目前并没有一般性理论。即使是线性方程，也极为复杂；至于非线性方程，只有具体问题具体分析的办法。目前已广泛应用于图像处理和计算机视觉的许多方面，包括运动物体跟踪、对比度增强、图像锐化、图像量化、图像分割等，并取得了很好的效果。利用偏微分方程进行图像处理基本思想是先利用偏微分方程对图像建模，再求解该方程，方程的解为所期望的结果。该方法可以使待修复区域周围的有用信息沿着等照度线自动向内扩散至修复图像，在保持图像边缘的基础上达到平滑噪音的目的。


摘  要    I
ABSTRACT    II
第1章 绪论    1
1.1 数字图像修复技术背景、目的、应用    1
1.2 数字图像修复技术研究现状    1
1.3 数字图像修复算法评价标准    3
1.3.1 主观评价方法    3
1.3.2 客观评价方法    3
1.4 本文章节安排    4
第2章 基于PDE图像修复的理论基础    7
2.1 最佳猜测原理和贝叶斯理论    7
2.2 偏微分方程简介    9
2.2.1 偏微分方程基础知识    9
2.2.2 偏微分方程与图像修复    9
2.3 图像及其相关算子的数学表示    10
2.3.1 图像的定义    10
2.3.2 图像的导数    10
2.4 图像修复模型建立原则    12
第3章 BSCB及其改进模型    13
3.1 BSCB模型    13
3.2 BSCB模型的建立    14
3.3 BSCB算法及数值实现    17
3.3.1 初始化的过程    17
3.3.2 修复的实现过程    18
3.3.3 扩散的实现过程    19
3.4 BSCB-ASG算法及数值实现    20
3.4.1 SG算子    20
3.4.2 ASG算子（近似的SG算子）    21
3.4.3 BSCB-ASG模型的分析    22
3.4.4 BSCB-ASG修复算法的数值解法    23
3.5 仿真实验    23
3.6 本章总结    24
第4章 TV图像修复模型    25
4.1 变分法相关定义    25
4.1.1 变分法相关知识    25
4.1.2 变分预备定理    25
4.2 有界变差函数的基本理论    28
4.3 TV模型的建立    30
4.4 TV模型的分析    32
4.4.1 模型的欧拉—拉格朗日方程    32
4.4.2 扩散性能分析    32
4.5 TV修复算法的数值解法    35
4.6 TV仿真实验    38
4.7 本章总结    39
第5章 m_TV图像修复模型    41
5.1 m_TV模型的建立    41
5.2 m_TV模型的分析    42
5.2.1 模型的欧拉—拉格朗日方程    42
5.2.2 扩散性能分析    42
5.3 m_TV修复算法的数值解法    43
5.4 m_TV仿真实验    44
5.5 本章总结    46
第6章 CDD图像修复模型    47
6.1 CDD模型    47
6.2 CDD修复算法的数值解法    50
6.3 CDD仿真实验    52
6.4 本章总结    55
第7章 总结与展望    56
参考文献    58
致    谢    60
附    录    61
附录1：BSCB及改进模型核心代码    61
附录2：TV模型核心代码    63
附录3：m_TV模型核心代码    63
附录4：CDD模型核心代码    65
英文翻译    69
英文原文    70
中文译文    77
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