偏微分方程的物理含义
1.实际问题采用偏微分方程的原因
在实际的工程和物理问题中，所欲分析的物理量（即未知函数）常受到不止一个变量的影响，所以一般多以偏微分方程表示。
2.偏微分方程的物理含义
包含多元未知函数的某些偏导数的方程，统称为偏微分方程。它有两个特点，一是未知函数为一个多元函数（否则，若未知函数只是一个一元函数，就是一个常微分方程！），二是方程中要包含未知函数的某些偏导数（否则，就是一个函数方程！）。这样来定义偏微分方程，其研究的目标和对象就太宽泛了，很难得到深入的结果。其实，偏微分方程这门数学学科的出现和兴起，并不是从偏微分方程的上述广泛的定义出发的，恰恰相反，是源于实践及应用需要的驱动，才使少数一些特殊类型的偏微分方程引起了人们普遍的关注，成了反复深入研究的对象，而对其他种种 “可能” 出现的偏微分方程却根本置之不顾。
自18世纪中叶开始对偏微分方程开展研究以来，人们的兴趣长期集中在下面几种典型的偏微分方程上。
(1) 双曲型方程。其代表是 波动方程
人们在研究波动现象（如声波，电磁波，弹性波…）时，总结出它们的共性，即波的传播过程——波动方程，从而在信息通讯、石油勘探、半导体器件、电子显微镜、激光制导等等领域有着广泛的应用，真正改变了人们的生活。
∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 Δ u \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2 \Delta u ∂t2∂2u=a2Δu
其中 u = u ( t , x , y , z ) u=u(t,x,y,z) u=u(t,x,y,z)为以时间变量 t t t 及空间变量 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z) 为自变量的未知函数，方程左端为 u u u 对 t t t 的二阶偏导数，右端的 Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 \Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} Δ=∂x2∂2+∂y2∂2+∂z2∂2 通称拉普拉斯算子，而 a ( > 0 ) a(>0) a(>0) 是一个表示波速的常数系数。
算子：对任何函数进行某一项操作都可以认为是一个算子
(2）抛物型方程。其代表是 热传导方程
∂ u ∂ t = a 2 Δ u \frac{\partial u}{\partial t}=a^2 \Delta u ∂t∂u=a2Δu
与波动方程不同，这个方程的左端是未知函数 u u u 对 t t t 的一阶偏导数。这个方程描述了由傅立叶(Fourier)在其1822年出版的名著《热的解析理论》中深入阐述的热的传导现象，揭示了一系列有关热传导的规律。
(3） 椭圆型方程。其代表是 拉普拉斯方程
Δ u = 0 \Delta u=0 Δu=0
其中 u = u ( x , y , z ) u=u(x,y,z) u=u(x,y,z) 是一个与时间 t t t 无关的未知函数。这个方程不仅可以用来表示稳定的温度场（稳定温度场，是指如果物体各点的温度随时间的变化而不变化，此时的温度场为稳定温度场），也可以用来表示静电场、静磁场、定常扩散现象、柱形杆的扭转、流体力学及势论。
随着科技的不断进步与发展，经典的数学物理方程，除了上面列举的最典型的三类方程外，其范围也在不断的扩大。现在，描述电磁理论的 麦克斯韦(Maxwell)方程组，描述流体运动的 欧拉方程组和 纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程组，描述弹性体运动的 弹性力学方程组，描述量子力学基本规律的 薛定锷(Schrödinger)方程，描述孤立波的 KdV方程，广义相对论的 爱因斯坦(Einstein)方程，等等，都已成为引起广泛重视和深入研究的重要的数学物理方程。
(4）薛定锷方程成为量子力学的基本数学模型
薛定锷方程 i h ∂ Ψ ∂ t = − h 2 2 m Δ Ψ ih\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{h^2}{2m}\Delta \Psi ih∂t∂Ψ=−2mh2ΔΨ
是量子力学中描述单个微观粒子运动规律的基本方程，其中 i = − 1 i=\sqrt{-1} i=−1 为虚数单位， h h h 为一个物理常数， m m m 为微观粒子的质量，而 Ψ \Psi Ψ (psaɪ，称为波函数)是一个复值的未知函数（函数值为复数的函数,例如 y = x + i y=x+i y=x+i ( i i i 为虚数单位)）。这个偏微分方程的推导并没有已有物理规律的支撑，其中还意外地出现了虚数单位 i i i ，它究竟是不是描述微观世界粒子运动规律的一个正确的数学模型呢？
把这个方程用于一个很简单的微观粒子——氢原子，用求解偏微分方程的方法算出氢原子的光谱线，发现和实测的结果完全一致，使这个方程成功地经受了实践的检验，从而牢固地确立了其为量子力学基本方程的地位。
从薛定锷方程中可以看出，量子力学的基本方程中本质地出现了虚数单位 i i i，这深刻地意味着“虚数不虚”，自然界实际上是用复数而不是用实数来运作的。
相关概念
波函数：在量子力学中，为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数 ，并用 Ψ \Psi Ψ 表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即 Ψ = Ψ ( x , y , z , t ) \Psi=\Psi(x,y,z,t) Ψ=Ψ(x,y,z,t)。
氢原子光谱：指的是氢原子内的电子在不同能级跃迁时所发射或吸收不同波长、能量之光子（传递电磁相互作用的基本粒子）而得到的光谱。
(5）描述孤立波的 KdV方程（korteweg-de Vries 方程）
1834年秋，英国科学家、造船工程师罗素在运河河道上看到了由两匹骏马拉着的一只迅速前进的船突然停止时，被船所推动的一大团水却不停止，它积聚在船头周围激烈地扰动，然后形成一个滚圆、光滑而又轮廓分明的大水包，高度约为0.3～0.5米，长约10米，以每小时约13公里的速度沿着河面向前滚动。罗素骑马沿运河跟踪这个水包时发现，它的大小、形状和速度变化很慢，直到3～4公里后，才在河道上渐渐地消失。罗素马上意识到，他所发现的这个水包决不是普通的水波。普通水波由水面的振动形成，振动沿水平面上下进行，水波的一半高于水面，另一半低于水面，并且由于能量的衰减会很快消失（类似于下图。
他所看到的这个水包却完全在水面上，能量的衰减也非常缓慢(若水无阻力，则不会衰减并消失)。并且由于它具有圆润、光滑的波形，所以它也不是激波。类似于下图：
罗素将他发现的这种奇特的波包称为孤立波，并在其后半生专门从事孤立波的研究。他用大水槽模拟运河，并模拟当时情形给水以适当的推动，再现了他所发现的孤立波。罗素认为孤立波应是流体力学的一个解，并试图找到这种解，但没有成功。
十年后（1845年）罗素向英国科学促进会报告了自己的观点，但却没能说服他的同事们，罗素所发现的孤立波现象也未能引起人们的注意。50年以后即1895年，两位数学家科特维格与得佛里斯从数学上导出了有名的浅水波 KdV 方程，并给出了一个类似于罗素孤立波的解析解，即孤立波解，孤立波的存在才得到普遍承认。
浅水波的动力学方程由 KdV 方程给出：
∂ u ∂ t + 6 u ∂ u ∂ x + ∂ 3 u ∂ x 3 = 0 \frac{\partial u}{\partial t}+6u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}=0 ∂t∂u+6u∂x∂u+∂x3∂3u=0
其中 u u u 为振幅。
考虑行（xing）波解：令 u ( x , t ) = f ( ζ ) = f ( x − c t ) u(x,t)=f(\zeta)=f(x-ct) u(x,t)=f(ζ)=f(x−ct)
其中 c c c 为波速。
则方程可化为对变量 ζ \zeta ζ 的常微分方程： d 3 f d ζ 3 + ( 6 f − c ) d f d ζ = 0 \frac{d^3 f}{d \zeta^3}+(6f-c)\frac{df}{d\zeta}=0 dζ3d3f+(6f−c)dζdf=0
可以解出孤立波解（孤立波解是一大类非线性偏微分方程的一种解的统称）:
u ( x , t ) = f ( x − c t ) = c ′ + 1 2 c ⋅ s e c h 2 [ 1 2 c ( x − c t + x 0 ) ] u(x,t)=f(x-ct)=c'+\frac{1}{2}c·sech^2[\frac{1}{2}\sqrt{c}(x-ct+x_0)] u(x,t)=f(x−ct)=c′+21c⋅sech2[21c(x−ct+x0)]
其形状类似钟形曲线。
在特定的情况下还有多孤立波解，例如对于初始条件 u ( x , 0 ) = 6 s e c h 2 x u(x,0)=6sech^2x u(x,0)=6sech2x ，KdV 方程有双孤子解，为：
u ( x , t ) = 12 4 c o s h ( 2 x − 8 t ) + c o s h ( 4 x − 64 t ) + 3 [ 3 c o s h ( x − 28 t ) + c o s h ( 3 x − 36 t ) ] 2 u(x,t)=12\frac{4cosh(2x-8t)+cosh(4x-64t)+3}{[3cosh(x-28t)+cosh(3x-36t)]^2} u(x,t)=12[3cosh(x−28t)+cosh(3x−36t)]24cosh(2x−8t)+cosh(4x−64t)+3
波的图像变化如图：
两个孤立子的相互作用
由图可见，两孤立子相遇前后波形并未改变，但发生了相移（相遇前后波各自平移了一定距离），类似于粒子的碰撞。
除了KdV 方程，还有一些偏微分方程也可以给出孤立波解，如非线性薛定谔方程、户田非线性晶格方程等。
**孤立波：**以一定速度前行并且不变形的水波，既可以发生在河流，又可以发生在海中。它被成为“孤立波”(Solitary Wave)。
孤立波是存在于自然界 (水面、大气层、光学介质 、等离子体) 的一种独特的波动现象 。它的特点是：行波单峰 、匀速 、不变形 、相互作用时不受破坏。鉴于这种波动具有像是不受任何阻碍地在运动，它又被称为“ 孤立子 、孤子”(Soliton)。
解析解和数值解：
解析解(analytical solution)是严格按照公式逻辑推导得到的。给出任意的自变量就可以求出其因变量，也就是问题的解，他人可以利用这些公式计算各自的问题，具有广泛适用性；数值解(numerical solution)是采用某种计算方法，在特定的条件下得到的一个近似数值结果。别人只能利用数值计算的结果，而不能随意给出自变量并求出计算值。
举个例子：对于方程 x 2 = 2 x^2 = 2 x2=2
其解析解为： ± 2 ±\sqrt{2} ±2
其数值解为： ± 1.414213...... ±1.414213...... ±1.414213......
**行波解：**行波的物理意义是波在介质中传播时不断向前推进，故称行波，对方程 u ( x , t ) = f ( ζ ) = f ( x − c t ) u(x,t)=f(\zeta)=f(x-ct) u(x,t)=f(ζ)=f(x−ct) 的解 代表以速度 c c c 向 x x x 轴正负两个方向传播的行波为自变量的函数。
3.总结
在众多可能的偏微分方程中，只关注这几类特殊的方程， 其原因除了对偏分方程极少有非常一般性的结论外，根本在于：不同的物理来源与背景，会归结出不同类型的偏微分方程，其解有不同的特性，其问题的提法和求解的方法因而也各不相同。只有根据实践中的迫切需要，分门别类地进行研究，才能充分展现有关偏微分方程的丰富内涵，深入揭示问题的本质，取得深刻的成果。正因为如此，在大学里开设的偏微分方程课程，往往称之为 数学物理方程，重点强调那些与物理世界密切联系的特殊类型的偏微分方。
偏微分方程，根据它的特点和任务，除了本身是一门博大精深的数学学科外，还应有两个重要的研究目标。一是物理模型，它是提供有意义的偏微分课题的不竭源泉；一是科学计算，它不仅可以对偏微分方程提供足够精确的近似解，而且可以对偏微分方程的理论研究提供新的思路和方法。