偏微分方程I PDE的例子1 一维波动与热传导方程

一些著名的偏微分方程(partial differential equations, PDE)的例子：

1. 波动方程（一维的wave equation是d‘Alembert、Bernoulli导出的，Euler导出了二维的wave equation）
2. 热传导方程（Fourier导出）
3. Navier-Stokes方程（流体力学）
4. Maxwell方程（电磁理论）
5. Boltzmann方程（统计力学）
6. Schroedinger方程（量子力学）
7. Black-Scholes方程（期权定价）

例1 一维波动方程
考虑一根被固定在$x=0$与$x=L$处的弦的波动，$u(x,t)$是$t$时刻$x$位置的挠度，我们考虑$x$与$x+\Delta x$这两个位置，假设$t$时刻它们的张力大小为$T$，与水平方向的夹角分别为$\psi ,\psi +\Delta \psi$，考虑这一段微元，张力在竖直方向的合力为
$$\begin{gathered} T[\sin (\psi +\Delta \psi )-\sin (\psi )]\approx T[\tan (\psi +\Delta \psi )-\tan (\psi )] \\ =T[\frac{\partial u(x+\Delta x,t)}{\partial x}-\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}]=T\frac{{\partial }^{2}u(x+\xi \Delta x,t)}{\partial x^2}\Delta x,\exists \xi \in (0,1) \end{gathered}$$

最后一步用的Lagrange中值定理。根据牛顿第二定律，
$$T{u}_{xx}\Delta x=\rho \Delta x{u}_{tt},\frac{T}{\rho }{u}_{xx}=u_{tt}$$

这里的$\rho$是线密度。我们称这样的方程是homogeneous 1-D wave equation（齐次一维波动方程），它的一般形式为
$$u_{xx}=c^2{u}_{tt}$$

这里的$c$的量纲是速度，
$$[c^2]=\frac{[T]}{[\rho ]}=\frac{ML/T^2}{M/L}=\frac{L^2}{T^2},[c]=\frac{L}{T}$$

它实际弦在波动时的波的传播速度。

假设弦在竖直方向受载荷$F(x,t)$的作用，则
$$\begin{gathered} T{u}_{xx}\Delta x+F(x,t)\Delta x=\rho \Delta x{u}_{tt} \\ {u}_{tt}=c^2{u}_{xx}+\frac{F}{\rho } \end{gathered}$$我们称这样的方程是inhomogeneous 1-D wave equation（非齐次一维波动方程），它的一般形式为
$$u_{xx}=c^2{u}_{tt}+f$$

评注
引入d’Alembert算子，
$${\square }_c=\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-c^2\Delta$$

这里的$\Delta =\nabla \cdot \nabla$，是Laplace算子，则homogeneous 1-D wave equation可以表示为
$${\square }_{c}u=0$$

inhomogeneous 1-D wave equation可以表示为
$${\square }_{c}u=f$$

例2 Helmholtz方程(声波、光的散射等)
假设
$$f(x,t)=f_0(x)e^{iwt},u(x,t)=u_0{e}^{iwt}$$

代入inhomogeneous 1-D wave equation，
$$\Delta u_0+K^2{u}_0=-\frac{f_0}{c^2},K^2=\frac{w^2}{c^2}$$

这就是Helmholtz方程；计算
$${\square }_{c}u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-c^2\Delta u=-u_0{w}^2{e}^{iwt}-c^2\Delta u_0{e}^{iwt}=f_0{e}^{iwt}$$

约掉$e^{iwt}$就可以得到Helmholtz方程。

这里的$w$是频率，因此$K$的含义是波数(wave number)，
$$[K^2]=\frac{[w^2]}{[c^2]}=\frac{1/T^2}{L^2/T^2}=\frac{1}{L^2},[K]=\frac{1}{[L]}$$

例3 一维热传导方程
考虑一根放在$x$轴上的很细的均匀实心金属管，考虑$x$到$x+dx$这一段微元，$A$是截面积，$L$是金属管长度，用$u(x,t)$表示温度场，$\rho (x,t)$表示密度，$c$表示比热容。这一段微元的元质量为$\rho Adx$，元热量为$cu(x,t)\rho Adx$。在$x\in (a,b)$上，热量为
$$Q={\int }_a^{b}cu(x,t)\rho Adx$$

根据Fourier定律，heat flux与温度场的负梯度成正比，用$k$表示热传导系数，则
$$F(x,t)=-k\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}$$

于是通过$(a,b)$的heat flux为
$$A[k\frac{\partial u(b,t)}{\partial x}-k\frac{\partial u(a,t)}{\partial x}]={\int }_a^{b}A\frac{\partial }{\partial x}(k\frac{\partial u(x,t)}{\partial x})dx$$

假设无热源，根据能量守恒
$$\begin{gathered} \frac{dQ}{dt}=A[k\frac{\partial u(b,t)}{\partial x}-k\frac{\partial u(a,t)}{\partial x}] \\ c\rho u_t=K{u}_{xx},K=\frac{k}{c\rho } \end{gathered}$$

假设存在热源$q_1(x,t)$，则根据能量守恒定律，
$$\begin{gathered} \frac{dQ}{dt}=A[k\frac{\partial u(b,t)}{\partial x}-k\frac{\partial u(a,t)}{\partial x}]+{\int }_a^b{q}_1(x,t)dx \\ {u}_t=K{u}_{xx}+q,K=\frac{k}{c\rho },q=\frac{q_1}{c\rho } \end{gathered}$$