偏微分方程的正向和逆向问题

1.偏微分方程的正问题（即定解问题）

PDE正问题是研究由偏微分方程描述某种物理过程或现象，并根据系统的状态变量的某些特定条件（包括初始条件、边界条件等）来确定整个系统的状态变量的变化规律，即研究状态的数学表达式。
例如：某一物体 $G$ 的热传导问题，以函数 $u(x,y,z,t)$ 表示物体 $G$ 在位置 $(x,y,z)$ 处及时刻 $t$ 的温度，物体的热传导系数、比热系数和密度系数分别为 $k(x,y,z)$ ，$c(x,y,z)$ 和 $p(x,y,z)$ ，外界对物体的加热过程为 $f(x,y,z,t)$，则物体内部的温度函数 $u(x,y,z,t)$ 一定满足下列方程：
$$\frac{\partial \rho cu}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}(k\frac{\partial u}{\partial x})+\frac{\partial }{\partial y}(k\frac{\partial u}{\partial y})\frac{\partial }{\partial z}(k\frac{\partial u}{\partial z})+f$$
并且，在初始时刻即 $t=0$ 时，物体的温度变化规律已知，如
$$u(x,y,z,0)=\phi (x,y,z)$$
物体与外界接触的表面温度变化规律已知，即
$$u(x,y,z,t){|}_{(x,y,z)\in \Gamma }=g(x,y,z,t)$$
其中 $\Gamma$ 为物体的边界曲面。

这样物体 $G$ 的内部温度 $u(x,y,z,t)$ 的变化规律就被唯一地确定。

2.偏微分方程的逆问题

在上述的热传导问题中，当人们研制出一种新物体时，它的热传导、比热和密度的系数特性，往往是未知的，而物体和外界接触表面上的各点流量（即 $\frac{\partial u}{\partial n}{|}_r$ ）是可观察的，物体内部的温度变化仍然未知，这就要求人们去确定新物质的热传导系数$k(x,y,z)$ ，比热系数$c(x,y,z)$ 和密度系数$p(x,y,z)$ 。这个问题恰是上述问题的反问题，即是一个偏微分方程的逆问题。

**概括而言：**若偏微分方程的定解问题中某些原来条件变成未知条件，而原方程的未知函数可能仍然是未知的，或者只知道与这个未知函数的一些有关信息，我们要通过方程、定解条件和某些附加条件来确定这些未知量，这类问题称为偏微分方程的逆问题。

一般偏微分方程的逆问题有五类：

（1）确定偏微分方程的某些结构参数，例如上述问题中确定热传导系数$k(x,y,z)$、比热系数 $c(x,y,z)$ 和密度系数 $p(x,y,z)$。

（2）确定过程的过去状态，即时间反演问题（或时间匹配问题）。例如，用上述问题中已知物体当前的温度去确定初始的温度分布，即 $\phi (x,y,z)$ 。

（3）确定外界过程的作用。例如，在上述问题中确定对问题的加热过程 $f(x,y,z,t)$。

（4）确定状态变量在物体边界上的变化规律。例如，在上述物体中确定物体与外界接触表面上的温度变化规律，即 $g(x,y,z,t)$。

（5）确定物体的边界形状，即几何逆问题。例如，在上述问题中确定 $\Gamma$ 或 $G$ 的形状。