偏微分方程数值解—ADI格式求解二维抛物型方程

偏微分的第4次实验，主要内容为二维抛物型方程的ADI格式求解。不足之处望读者多多指正。

实验内容

使用ADI格式求解以下问题：
$\frac{\partial u}{\partial t}-\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)=-\frac{3}{2}{e}^{\frac{1}{2}(x+y)-t},0<x,y<1,0<t⩽1$
$u(x,y,0)=e^{\frac{1}{2}(x+y)},0<x,y<1$
$u(0,y,t)=e^{\frac{1}{2}y-t},u(1,y,t)=e^{\frac{1}{2}(1+y)-t},0⩽y⩽1,0⩽t⩽1$
$u(x,0,t)=e^{\frac{1}{2}x-t},u(x,1,t)=e^{\frac{1}{2}(1+x)-t},0<x<1,0⩽t⩽1$
该问题的精确解为：$u(x,y,t)=e^{\frac{1}{2}(x+y)-t}$

算法原理(偷懒贴图)

从第K层过渡到K+1/2层

从第K+1/2过渡到第K+1层

算法实现思想

结合上述算法思想，实现思路如下：
（1）分别给出空间区间数M，与时间间隔数N，得到空间步长h与时间步长c；
（2）构建矩阵A1、A2、A3、A4，令k=1；
（3）判断k是否等于N+1，若相等执行步骤（4）、（5），反之执行步骤（6）；
（4）构建U（k）、F（k+1/2）并求解出中间层U（k+1/2）;
（5）构建F（k+1）,求解U（K+1），将求解结果写入三维数组U3，k=k+1，并返回步骤（3）；
（6）输出U3，程序结束。

Matlab实现

ADI格式实现尝试

function U3 = ADI(M,N,h,c,x,y,t)
%***************************************************************
% 求解二维抛物型奇次方程 ut=uxx+uyy;
% 0≤x≤1 ,0≤y≤1 , 0≤t≤T;
% 该问题的定解: u(x,y,t)=exp( 1/2(x+y)-t);
% 初值条件: u(x,y,0)=exp( 1/2(x+y) );
% 边值条件: u(0,y,t)=exp( 1/2*(y)-t ); u(1,y,t)=exp( 1/2*(1+y)-t );
%  u(x,0,t)=exp( 1/2*x-t ); u(x,1,t)=exp( 1/2*(x+1)-t );
%***************************************************************
r=c./h^2;  
%构造B1
bb1=zeros(1,M-1);                          %给主对角线位置赋值.
for i=1:M-1
    bb1(i)=1+r;
end
B1=diag(bb1); 
%构造C1
cc1=zeros(1,M-1);                          %给主对角线位置赋值.
for i=1:M-1
    cc1(i)=-r./2;
end
C1=diag(cc1); 
%***************************************************************
%构造A1
aa1=blkdiag(kron(eye(M-1),B1));             %创建主对角矩阵块
mid=mat2cell(aa1,(M-1)*ones(1,M-1),(M-1)*ones(1,M-1));
mid(find(diag(ones(1,M-2),1)==1))={
    
    C1};     %创建上对角矩阵块
mid(find(diag(ones(1,M-2),-1)==1))={
    
    C1};    %创建下对角矩阵块
A1=cell2mat(mid);                        
%***************************************************************
%构造B2
bb1=zeros(1,M-2);                     
for i=1:M-2                            %给-1,1对角线位置赋值.
    bb1(i)=r./2;
end
bb2=zeros(1,M-1);                          %给主对角线位置赋值.
for i=1:M-1
    bb2(i)=1-r;
end
B2=diag(bb1,-1)+diag(bb2)+diag(bb1,1);    
%***************************************************************
%构造A2
aa2=blkdiag(kron(eye(M-1),B2));           %创建主对角矩阵块
mid=mat2cell(aa2,(M-1)*ones(1,M-1),(M-1)*ones(1,M-1));
A2=cell2mat(mid);                        
%***************************************************************
%构造B3
bb4=zeros(1,M-2);                     
for i=1:M-2                            %给-1,1对角线位置赋值.
    bb4(i)=-r./2;
end
bb5=zeros(1,M-1);                       %给主对角线位置赋值.
for i=1:M-1
    bb5(i)=1+r;
end
B3=diag(bb4,-1)+diag(bb5)+diag(bb4,1);    
%***************************************************************
%构造A3
aa3=blkdiag(kron(eye(M-1),B3));           %创建主对角矩阵块
mid=mat2cell(aa3,(M-1)*ones(1,M-1),(M-1)*ones(1,M-1));
A3=cell2mat(mid);        
%***************************************************************
%构造B4
bb6=zeros(1,M-1);                          %给主对角线位置赋值.
for i=1:M-1
    bb6(i)=1-r;
end
B4=diag(bb6);
%***************************************************************
%构造C4
cc=zeros(1,M-1);                          %给主对角线位置赋值.
for i=1:M-1
    cc(i)=r./2;
end
C4=diag(cc);
%***************************************************************
%构造A4
aa4=blkdiag(kron(eye(M-1),B4));             %创建主对角矩阵块
mid=mat2cell(aa4,(M-1)*ones(1,M-1),(M-1)*ones(1,M-1));
mid(find(diag(ones(1,M-2),1)==1))={
    
    C4};     %创建上对角矩阵块
mid(find(diag(ones(1,M-2),-1)==1))={
    
    C4};    %创建下对角矩阵块
A4=cell2mat(mid);
%***************************************************************
%Fk+1/2, 先构造f1
ff1=zeros(1,M-2);                     
for i=1:M-2                            %给-1,1对角线位置赋值.
    ff1(i)=r./4;
end
ff2=zeros(1,M-1);                        %给主对角线位置赋值.
for i=1:M-1
    ff2(i)=(1-r)./2;
end
f1=diag(ff1,-1)+diag(ff2)+diag(ff1,1);    
%***************************************************************
%再构造f2
ff1=zeros(1,M-2);                     
for i=1:M-2                            %给-1,1对角线位置赋值.
    ff1(i)=-r./4;
end
ff2=zeros(1,M-1);                          %给主对角线位置赋值.
for i=1:M-1
    ff2(i)=(1+r)./2;
end
f2=diag(ff1,-1)+diag(ff2)+diag(ff1,1);    
%***************************************************************
U0=zeros((M-1)*(M-1),1);
count1=1;%记录第0层总个数
% 初值条件如下，给第0层赋值
for i=1:M-1    %不包括边界值
    for j=1:M-1
       U0(count1,1)=exp(0.5*(x(i+1)+y(j+1))-t(1));
       count1=count1+1;
    end
end
%***************************************************************
%先求k+1/2层
k=1;%记录行数
FF1=zeros(M-1,1);
FF2=zeros(M-1,1);
uk=zeros(M-1,1);%u(0,j,k)|u(M,j,k)
uk1=zeros(M-1,1);%u(0,j,k+1)|u(M,j,k+1)
uk_1=zeros(M-1,1);%u(0,0/M,k)|u(M,0/M,k)
uk1_1=zeros(M-1,1);%u(0,0/M,k+1)|u(M,0/M,k+1)
F1=zeros((M-1)*(M-1),1);
while k~=N+1
%***************************************************************
%构造F(k+1/2)
%FF1
for i=1:M-1
    uk(i,1)=exp(0.5*(y(i+1)-t(k)));
    uk1(i,1)=exp(0.5*(y(i+1)-t(k+1)));
end
uk_1(1,1)=exp(1*t(k));
uk_1(M-1,1)=exp(0.5-t(k));
uk1_1(1,1)=exp(t(k+1));
uk1_1(M-1,1)=exp(0.5+t(k+1));
FF1=f1*uk+r./4*uk_1+f2*uk1-r./4*uk1_1;
%***************************************************************
%FF2
for i=1:M-1
    uk(i,1)=exp(0.5*(1+y(i+1)+t(k)));
    uk1(i,1)=exp(0.5*(1+y(i+1)+t(k+1)));
end
uk_1(1,1)=exp(0.5+t(k));
uk_1(M-1,1)=exp(1+t(k));
uk1_1(1,1)=exp(0.5+t(k+1));
uk1_1(M-1,1)=exp(1+t(k+1));
FF2=f1*uk+r./4*uk_1+f2*uk1-r./4*uk1_1;
% 在下面把FF1全部赋给F1即F(k+1/2)向量的前M-1项
for j=1:M-1    
 F1(j,1)=FF1(j,1);
end
% 在下面把FF2全部赋给F1即F(k+1/2)向量的最后的M-1项
pp=1;
for j=(M-1)*(M-2)+1:(M-1)*(M-1)
 F1(j,1)=FF2(pp,1);  %Fk+1/2
 pp=pp+1;
end
%***************************************************************
% 构造F(k)
F=zeros((M-1)*(M-1),1);%Fk
c=1;
for j=1:M-1
    F(c,1)=exp(0.5*(x(j+1)+t(k)));
    F(c+M-2,1)=exp(0.5*(1+x(j+1)+t(k)));
    c=c+M-1;
end
f=A2*U0+0.5.*r*F1+0.5.*r*F;
U1=A1\f;      %U1为第一阶段利用U(k)所求的U(k+1/2);
%***************************************************************
 
% 继续往下求解, 利用U(k+1/2)求的U(k+1), 此为第二阶段
% U(k+1/2)已存放到U1中, F(k+1/2)已存放到F1之中, 在第二阶段需要使用两者;
ff6=zeros((M-1)*(M-1),1); %Fk+1
% ff6为所需要的F(k+1);
c=1;
for j=1:M-1
    ff6(c,1)=exp(0.5*(x(j+1)+t(k+1)));
    ff6(c+M-2,1)=exp(0.5*(1+x(j+1)+t(k+1)));
    c=c+M-1;
end
FF=A4*U1+0.5*r*(ff6+F1);
U=A3\FF;
%***************************************************************
% U为所求的U(k+1)
U0=U; % 把U(k+1)作为下一次迭代的初值条件
U=reshape(U,M-1,M-1);
for i=2:M
    for j=2:M
       U3(i,j,k)=U(i-1,j-1); 
    end
end
for i=1:M+1
 U3(i,1,k)=exp(0.5*(x(i))-t(k+1));  %左边界
 U3(i,M+1,k)=exp(0.5*(1+x(i))-t(k+1)); %右边界
end
 
for i=1:M+1
 U3(1,i,k)=exp(0.5*(y(i)-t(k+1)));  %上边界
 U3(M+1,i,k)=exp(0.5*(1+y(i))-t(k+1)); %下边界
end
 
k=k+1;  %进入下一层
end

调用的主函数

主要实现：完成迭代矩阵U3与解析解矩阵U4的实现，主要实现图像拟合、与误差分析

求解结果（目标）

拟合图像

动态实现尝试

• 这里的动态实现与实验的不一样，实现思路主要来自b站的网课
  

实验总结

完成了matlab拟合与可视化的部分，误差分析并计算误差阶有待下篇文章完成。

参考

物理老师的热传导课