偏微分方程数值解---学习总结(2)

偏微分方程数值解---学习总结(2)

关于 \(Sobolve\) 空间的几个重要定理

迹定理 : \(\Omega\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 的一个有界开子集，具有 李普希茨连续边界 \(\partial\,\Omega\), \(s>\frac{1}{2}\), 则
\[ \begin{align} &a.\text{存在唯一的连续线性映射}\gamma_0:\mit{H}^{s}(\Omega)\rightarrow \mit{H}^{s-\frac{1}{2}}(\partial\,\Omega),\text{满足}\gamma_0v=v\big|_{\partial \Omega},\forall\,v\in\mit{H}^{s}(\Omega)\cap C^{0}(\overline{\Omega}), \\ &b.\text{存在唯一的连续映射}R_0：\mit{H^{s-\frac{1}{2}}}(\partial\, \Omega)\rightarrow\mit{H}^{s}(\Omega), \text{满足} \gamma_0\circ R_0 \circ\varphi=\varphi, \forall\, \varphi \in \mit{H^{s-\frac{1}{2}}}(\partial\, \Omega). \end{align} \]

迹定理 把区域内部与边界联系起来. 上面定理中边界 \(\partial \Omega\) 当被它的一个子集\(\Sigma\) 代替时，结论依然成立.

S=1 时，
\[ \gamma_0:\mit{H}^1(\Omega)\rightarrow\mit{H}^{\frac{1}{2}}(\partial \Omega)\subset \mit{L}^{2}(\partial \Omega)\\ %\int_{\partial\,\Omega}(\gamma_0v)^2dx\leq C\int_{\Omega}(|v|^2+|\nabla %v|^2)dx\\ ||\gamma_0v||_{0,\partial \Omega}\leq ||\gamma_0v||_{2,\partial \Omega }\leq C||v||_1=C(||v||_0 +||\nabla v||_0).\\ %||\gamma_0v||^2_{\frac{1}{2},\partial\Omega}\leq C||v||^2_1. \]
注意几个范数
\[ \begin{align} ||\cdot||_k&=||\cdot||_{k,2}\\ ||\cdot||_0&=||\cdot||_{\mit{L^2}}\\ ||\cdot||_1&=||\cdot||_{1,2}=(||\cdot||^2_0+||\nabla\cdot||^2_0)^{\frac{1}{2}}\\ ||\nabla\cdot||_0&=|\cdot|_1. \end{align} \]

庞加莱不等式(Poincare inequality): 假设 \(\Omega\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 的一个有界联通开子集，\(\Sigma\) 是边界 \(\partial\,\Omega\)的一个非空的李普希 茨连续子集. 则存在一个常数 \(C_{\Omega}>0\) 满足
\[ \int_{\Omega}v^2(x)dx\leq C_{\Omega}\int_{\Omega}|\nabla v(x)|^2dx,\forall\,v \in \mit{H}^{1}_{\Sigma}(\Omega),\\ \text{其中}\,\,\mit{H}^{1}_{\Sigma}(\Omega)=\{v \in\mit{H}^{1}(\Omega),\gamma_{\Sigma}v=v\big|_{\Sigma}=0 \}. \]

\(Poincare \,\,inequality\) 是特别重要的一个不等式，它在边值问题和变分问题的求解过程起着特别重要的作用. 上述不等式通常会被简记为\(||v||_0\leq C\,||\nabla v||_0\)

一维形式
\[ \text{对于}\,\Omega=I=(a,b),\mit{H}^{1}_{a}(I)={v\in\mit{H^1}(I),v(a)=0},\\ \text{则}\int_{a}^{b}v^2dx\leq C_I\int_a^b(v')^2dx,\,\forall\,v\in\mit{H^1}(I). \]
二维形式
\[ \Omega=(a,b)^2,\,\mit{H}^1_{\Sigma}=\{v\in\mit{H}^1(\Omega),v(a,y)=0,\forall \,y\in(a,b)\,\}, \text{则}\,||v||_0\leq C\,||\nabla v||_0. \]

Poincare 不等式的形式一定要记住

格林公式 \(\forall \,w,v\in\mit{H}^{1}(\Omega),\) 有
\[ \int_{\Omega}(D_jw)vdx=-\int_{\Omega}w(D_jv)dx+\int_{\partial\Omega}(\gamma_0w)(\gamma_0v)d\sigma,\,j=1,2,\cdots,d. \]

格林公式可以把区域内部的导数转移到边界上.

嵌入定理 假设 \(\Omega\) 是\(\mathbb{R}^d\)的一个有界子集（或非有界开子集，具有李普希茨连续边界，且 \(1\leq p\leq\infty.\) 则有下面的连续潜入映射：
\[ \begin{align} a.&\text{如果}0\leq sp <d, \text{则} W^{s,p}(\Omega)\subset\mit{L^{p^*}(\Omega)},p^*=\frac{dp}{d-sp};\\ b.&\text{如果}sp=d,\text{则} W^{s,p}(\Omega)\subset\mit{L^{q}}(\Omega),p\leq q<\infty;\\ c.&\text{如果} sp>d,\text{则} W^{s,p}(\Omega)\subset C^0(\overline{\Omega}). \end{align} \]

嵌入定理的第 3 条最常用，一定要记住.

针对第 3 条，给出一些特殊情况：
\[ \begin{align} &d=1,s=2,p=2, \text{则}\, \mit{H}^1(\Omega)\subset C^0( \,\overline{\Omega});\\ &d=2,s=1,p=2, \text{则}\, \mit{H}^1(\Omega)\not\subset C^0( \,\overline{\Omega});\\ &d=2,s=2,p=2,\text{则}\, \mit{H}^2(\Omega)\subset C^0( \,\overline{\Omega});\\ &d=2,s>1,p=2,\text{则}\, \mit{H}^s(\Omega)\subset C^0( \,\overline{\Omega}). \end{align} \]

Gaglinsdo-Nirenberg inequality: 令 \((a,b)\) 是一个有限区间, 则下面的不等式成立：
\[ \max_{a\leq c\leq b}|v(x)|\leq (\frac{1}{b-a}+2)^{\frac{1}{2}}||v||^{\frac{1}{2}}_0||v||^{\frac{1}{2}}_1,\,\forall \, v\in \mit{H}^1(a,b). \]

补充几种空间的关系
\[ \begin{align} &\mit{H}^2_0(\Omega)\subset \mit{H}^2_0(\Omega)\cap \mit{H}^1_0(\Omega);\\ %&\mit{L^p}(\Omega)\subseteq\mathcal{D}'(\Omega)\\ &W^{k,p}_0\subset W^{k,p}(\Omega)\subset\mathcal{L}^p(\Omega)\subset\mathcal{D}'(\Omega)\\ &W^{k,p}\leftrightarrow C^k(\Omega). \end{align} \]

这几个不等式是学习偏微分方程的重要基础，必须熟记！