希尔伯特变换 (Hilbert transform(HT)) 1主要用于求实数信号的包络，也可以用于数据分析，如Hilbert-Huang transform (HHT)2。
HT在实际应用中会遇到两个具体的问题：i）其滤波器在零点是奇异的，不易于实际计算；ii）其不能压制高频噪声，因而不利于求包络。本博客提供一个低通HT，即 Low-passing HT (LPHT)。LPHT能够可以很好地解决上述问题，因此可以作为HT的实际应用版本。
先看HT的定义。对于一个实数时间信号是s(t), 其HT如下定义：
Hs=s(t)∗h(t)=fracipiintfracs(tau)t−taudtauHs=s(t)∗h(t)=fracipiintfracs(tau)t−taudtau (1)
其中滤波器
h(t)=fracipith(t)=fracipit (2)
注意这里的滤波器h(t)与教科书中的相比多乘了个i，这样做并不改变HT的本质，但可以使得滤波器h(t)的傅立叶变换正好为一个sign函数，即
hat h(omega ) = sign(omega ) = left{ {begin{array}{{20}{c}} {1,} & {omega > 0} \ {0,} & {omega = 0} \ { - 1,} & {omega < 0} \ end{array}} right.hat h(omega ) = sign(omega ) = left{ {begin{array}{{20}{c}} {1,} & {omega > 0} \ {0,} & {omega = 0} \ { - 1,} & {omega < 0} \ end{array}} right. (3)
其中，^表示傅立叶变换算子。很明显，HT的滤波器h(t)在零点是奇异的，即
|h(0)|=infty|h(0)|=infty (4)
下面定义所谓的LPHT。对于一个实数时间信号是s(t), 其LPHT如下定义：
Hvarpis=s(t)∗hvarpi(t)=fracipiints(tau)frac1−cos(varpi(t−tau))t−taudtauHvarpis=s(t)∗hvarpi(t)=fracipiints(tau)frac1−cos(varpi(t−tau))t−taudtau (5)
其中，v 是某一正常数，代表低通截止频率；而滤波器
hvarpi(t)=fracipit(1−cosvarpit)hvarpi(t)=fracipit(1−cosvarpit) (6)
该滤波器的傅立叶变换为
{{hat h}_varpi }(omega ) = left{ {begin{array}{{20}{c}} {sign(omega ),} & {|omega | le varpi } \ {0,} & {|omega | > varpi } \ end{array}} right.{{hat h}_varpi }(omega ) = left{ {begin{array}{{20}{c}} {sign(omega ),} & {|omega | le varpi } \ {0,} & {|omega | > varpi } \ end{array}} right. (7)
很明显，LPHT的滤波器hv (t)在零点不奇异，即
hvarpi(0)=0hvarpi(0)=0 (8)
对比(4)和(8)，我们可以知道，HT有奇异点，而LPHT没有。因此，在实际计算上，LPHT要比HT更容易实现。
对比(3)和(7)可以知道，滤波器hv (t)是滤波器h(t)的低通滤波结果（其中v是截止频率）。因此，LPHT是一个低通的HT，相当于HT+低通滤波。这样，LPHT就可以压制高频噪声的干扰了。 在LPHT的实际应用中，截止频率v可以更根据实际需要可大可小地设定。
总之，LPHT (5) 既可以消除原始HT (1) 中的奇异点，又可以压制信号中的高频噪声，可谓一举两得。所以，LPHT 可以作为HT的实用版本予以应用。
附记：
l LPHT也可以应用到HHT的计算；
l 如果大家觉得LPHT很实用，别忘了引用本博客哦。
参考网站：
1 http://zh.wikipedia.org/wiki/希尔伯特变换
2 http://www.ancad.com.tw/presentation files/VisualSignal/一般性介紹/HHT.pdf
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