希尔伯特变换（Hilbert–Huang Transform，HHT）及其matlab实现

希尔伯特变换（Hilbert–Huang Transform，HHT）是一种将非线性和非平稳的信号分解成有限数量简单代数信号的处理方法。相比于传统的傅里叶变换和小波变换，HHT可以更好地处理依赖时间的数据，而且HHT不需要假设原始信号是线性和静态的。本文将介绍以Matlab实现希尔伯特变换方法的过程。

HHT方法由两个主要的步骤组成：经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）和希尔伯特谱分析（Hilbert Spectral Analysis，HSA）。

第一步：经验模态分解

EMD通过分配一个局部均值定义一个信号的极值，并将信号分解成一些函数，这些函数称为内模态函数（Intrinsic Mode Functions，IMFs）。IMFs具有线性和可分离的性质，可以被组合成原信号。采用局部极值点间距的平均值作为分裂标准将信号逐步分解，直至得到IMFs。IMFs是平稳且在其中任何频段内具有有限带宽的信号，可以通过希尔伯特变换计算HSA。

以下是Matlab代码实现EMD的过程：

function [imf,residual,j] = emd(x)
    IMF = []; %定义存储内模态函数的空局部变量
    j=1;
    while ~ismonotonic(x) %判断信号是单调还是非单调
        [env_max, env_min, imf] = spline_cubic(x);
        m = imf - env_min;
        M = env_max - imf;
        if max(m) > max(M)
            h = M;
        else
            h = m;
        end
        IMF = [IMF; imf];
        x = x - imf;
        j = j+1;
        if j > 5000
            residual = x;
            break
        end
    end
    residual = x;
    IMF = [IMF; residual];
end

function [max_pos,min_pos] = extr(x)
    x1 = x(1:end-2);
    x2 = x(2:end-1);
    x3 = x(3:end);
    max_pos = (x1<x2)&(x2>x3);
    min_pos = (x1>x2)&(x2<x3);
end

function y = spline_interp(x,pos,type)
    switch type
        case 'max'
            pos_ext = [1 pos length(x)];
        case 'min'
            pos_ext = [1 pos length(x)];
    end
    xx = pos_ext(1):pos_ext(end);
    p = interp1(pos_ext,pos,xx,'spline');
    y = interp1(x,p);
end

function [env_max, env_min, imf] = spline_cubic(x)
    mean_x = zeros(size(x));
    while ~isequal(mean_x, x)
        mean_x = x;
        max_pos = extr(mean_x,'max');
        min_pos = extr(mean_x,'min');
        if sum(max_pos) == 0 || sum(min_pos) == 0
            env_max = NaN(size(x));
            env_min = NaN(size(x));
            imf     = NaN(size(x));
            break
        end
        max_env = spline_interp(mean_x,max_pos,'max');
        min_env = spline_interp(mean_x,min_pos,'min');
        mean_env = (max_env + min_env)/2;
        imf = mean_x - mean_env;
        max_env(min_env > mean_x) = min_env(min_env > mean_x);
        min_env(max_env < mean以下是Matlab代码实现EMD的过程（续）。

```matlab
   _env) = max_env;
        env_min(max_env < mean_env) = max_env(max_env < mean_env);
    end
end

function [output] = ismonotonic(x)
    pos = [find(x == max(x),1,'first') find(x==min(x),1,'first')];
    if abs(pos(1)-pos(2)) == 1
        output = true;
    else
        output = false;
    end
end

第二步：希尔伯特谱分析

在经验模态分解（EMD）之后，我们得到了内模态函数（IMFs），然后可以通过希尔伯特变换计算HSA。HSA是希尔伯特变换的处理结果，表示IMFs的包络。可以通过以下代码实现：

% 计算希尔伯特谱分析
function [H] = hspectrum(x, fs)
    X = fft(x);
    X([1 (end/2+1):end],:) = 0; % 将FFT频域的幅度清零，除了直流和Nyquist频率之外
    H = real(ifft(X)); % 希尔伯特变换，将频域信号转换到时域
    f = fs*(0:length(x)-1)/length(x);
    H = H(1:end/2,:);
    f = f(1:end/2)';
    H = [f H];
    H = H(f > 0,:);
end

完整实现

以下是一个完整示例代码，展示了如何在Matlab中实现HHT方法：

% 产生有噪声的信号
fs = 100; % 采样率
t = 0:1/fs:5-1/fs; % 时间轴
f = 10; % 信号频率
x = sin(2*pi*f*t);

% 添加噪声
x = x + 2*randn(size(t));

% 计算希尔伯特变换和IMFs
[imf, residual] = emd(x);
H = hspectrum(imf, fs);

% 绘图
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t,x, 'k');
hold on;
plot(t,imf, 'r');
legend('Original Signal', 'IMFs');

subplot(2,1,2);
plot(H(:,1), H(:,2), 'b');
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Amplitude');
title('Hilbert Spectrum');

运行上述代码会产生一个希尔伯特谱图，显示出信号包络的频率响应和其振幅随时间变化的情况。通过HHT方法，我们可以将复杂的信号分解成更简单的信号部分，理解和分析非线性和非平稳的信号。