一、解析信号

1. 定义

解析信号是没有负频率分量的复值函数，解析信号的实部和虚部是由希尔伯特变换相关联的实值函数。

（参考：解析信号）

2. 概念

一个实值函数 $x(t)$ 的 Hilbert 变换记作为 $\hat{x}(t)$ ，则 $x(t)$ 的解析信号为：

$\tilde{x}=x(t)+j\hat{x}(t)$

3. 性质

（参考：希尔伯特变换简介）

解析信号有如下性质：

（1）实部和虚部功率谱相同；

（2）实部和虚部自相关函数相同；

（3）实部和虚部的互相关函数是奇函数；

（4）解析信号的频谱只有正频段，且幅值变为原来的 2 倍（实现了由双边谱转变为单边谱）；

（5）解析信号的功率谱也只有正频段，强度变为原来的 4 倍。

二、希尔伯特变换

1. 定义

一个实值函数 x(t) 的希尔伯特变换是 x(t) 和 1/Πt 的卷积。因此希尔伯特变换的结果就是输入信号 x(t) 经过一个线性时不变系统（LTI）之后的输出，该线性时不变系统的脉冲响应为 1/Πt。

信号经过希尔伯特变换之后，频域内各频率成分的幅值不变，但相位出现 90° 相移。即正频率滞后 Π/2，负频率导前 Π/2，因此希尔伯特变换器又称 90° 移相器。

（参考：希尔伯特变换）

2. 公式推导

假设 x(t) 是一个实值函数，求该函数的希尔伯特变换。

$\hat{x}(t)=H[x(t))]=x(t)\ast \frac{1}{\pi t}=\frac{1}{\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\frac{x(\tau )}{t-\tau }d\tau$

因此 $\hat{x}(t)$ 可以被解读为 $x(t)$ 的线性时不变系统的输出，该线性时不变系统的脉冲响应为：

$h(t)=\frac{1}{\pi t}$

该脉冲响应的傅里叶变换为：

$H(w)=-jsgn(w)=\left\{\begin{matrix} -j, & w>0\\ 0, &w=0 \\ +j,&w<0 \end{matrix}\right.$

所以 $\hat{x}(t)$ 的傅里叶变换为：

$\hat{X}(w)=X(w)\ast H(w)=X(w)\ast (-jsgn(w))=-jX(w)\ast sgn(w)$

即：

$\hat{X}(w)=\left\{\begin{matrix} -jX(w), &w>0 \\ 0, &w=0 \\ jX(w)), &w<0 \end{matrix}\right. =\left\{\begin{matrix} -j\frac{w}{|w|X(w)}, &w\neq 0 \\ 0, &w=0 \end{matrix}\right.$

（参考：1/t的傅里叶变换证明）

3. 性质

希尔伯特变换器又称 90° 移相器，如下图。两次希尔伯特变换之后，原信号相位翻转了 180°，四次希尔伯特变换之后又变回本身。

Hilbert 变换有如下性质：

（1）反对称：H(-x) = -H(x)；

（2）抑制直流分量：H(0) = 0；

（3）非零频率成分能量为 1：|H(x)| = 1，对于任意 x≠0；

（4） $\hat{x}(t)$ 和 $x(t)$ 正交。

（参考：希尔伯特变换简介）

三、Hilbert解调原理

1. 信号解调

信号解调是信号调制的反过程，是从已调制的高频信号中解调出原调制信号。信号调制包括调幅、调频、调相，因此信号解调的目的是：根据已有信号，提取出信号的包络、相位、频率信息。

（参考：信号解调的基本原理）

（参考：常用的信号解调方式有哪些？）

2. 欧拉公式（Euler's formula）

$e^{jx}=cos(x)+jsin(x)$

欧拉公式说明，复指数信号可以表示成一个实数信号和一个虚数信号和的形式，而且这个实部和虚部是有关系的，两者相位相差 $\frac{\pi }{2}$ 。

时域信号	傅里叶变换
$cos(x)$	$\pi [\delta (w+w_{0})+\delta (w-w_{0})]$
$sin(x)$	$j\pi [\delta (w+w_{0})-\delta (w-w_{0})]$

因此，等式左边的复指数信号的傅里叶变换为 $2\pi \delta (w-w_{0})$ 。欧拉公式是最简单的解析信号，可以看出解析信号在时遇上是复数，而在频域上，只有正频率分量，且幅值是实数信号幅值的两倍。

3. 希尔伯特调制原理

假设有一个调制后的实数信号 $x(t)=a(t)cos[w_{0}t+b(t)]$ ，其中 $a(t)$ 是对信号进行幅度调制（调幅）， $b(t)$ 是对信号进行相位调制（调相）， $w_{0}$ 是载波频率。则该实数信号的解析信号为：

$\widetilde{x}(t)=x(t)+j\hat{x}(t)=a(t)cos(w_{0}t+b(t))+ja(t)sin(w_{0}t+b(t))$

即：

$\widetilde{x}(t)=a(t)[cos(w_{0}t+b(t))+jsin(w_{0}t+b(t))]=a(t)e^{j(w_{0}t+b(t))}$

则有：

$\widetilde{x}(t)=a(t)e^{jb(t)}e^{jw_{0}t}$

其中， $a(t)e^{jb(t)}$ 为复包络， $e^{jw_{0}t}$ 为复载波信号。

因此解调信息为：

包络： $|\widetilde{x}(t)|=|a(t)e^{jb(t)}|=|a(t)|$ ；

相位： $\theta (t)=w_{0}t+b(t)=arctan\frac{\hat{x}(t)}{x(t)}$ ；

瞬时频率： $f(t)=\frac{1}{2\pi }\frac{d\theta (t)}{dt}=\frac{1}{2\pi}\frac{darctan\frac{\hat{x}(t)}{x(t)}}{dt}=\frac{1}{2\pi}[w_{0}+\frac{db(t)}{dt}]$ 。

可以得出：实数信号的瞬时幅值就是解析信号的模，实数信号的瞬时相位就是解析信号虚部和实部比值的反正切值，实数信号的瞬时频率就是瞬时相位的导数除以 2Π。

（参考：希尔伯特变换求包络原理）

（参考：希尔伯特变换与信号的包络_瞬时相位和瞬时频率（pdf 页））

总结 Hilbert 解调步骤：

（1）求原始信号 $x(t)$ 的 Hilbert 变换 $\hat{x}(t)$ ，得到原始信号的解析信号 $\widetilde{x}(t)$ ；

（2）瞬时幅度（包络） = 解析信号的模 = $\sqrt{x^{2}(t)+\widetilde{x}^{2}(t)}$ ；

（3）瞬时相位 = $\hat{x}(t)$ 和 $x(t)$ 比值的反正切值 = $arctan\frac{\widetilde{x}(t)}{x(t)}$ ；

（4）瞬时频率 = 瞬时相位的导数 / 2Π = $\frac{1}{2\pi }\frac{d\theta (t)}{dt}=\frac{1}{2\pi }\frac{[\theta (t+1)-\theta (t)]}{T_{s}}$ ，即：

$\frac{f_{s}}{2\pi }\[\theta (t+1)-\theta (t)]$ 。

（参考：希尔伯特-黄变换（HHT）的前世今生——一个从瞬时频率讲起的故事）

（参考：希尔伯特变换和瞬时频率问题--连载（二））

4. 希尔伯特解调的意义

我的疑问是：为什么要对已知的信号进行解调才能得到幅值、相位和频率信息？

解答：因为在实际问题中，我们只知道实数信号 $x(t)$ 的结果，而不知道其具体形式，所以没有办法直接根据信号公式得到这些信息，所以就用到了希尔伯特解调原理~

（参考：信号处理——Hilbert变换及谱分析）

四、Hilbert解调小栗子

%% 
clear; clc; close all; warning off;

%% 生成调制信号
fs = 400;  % 采样频率
Ts = 1 / fs;
N = 400;  % 观测时长
t = (0 : N-1) * Ts;

fa = 5;  % 调幅单频
fp = 10;  % 调相单频
fc = 30;  % 载波单频

a = 1 + 0.5 * cos(2 * pi * fa * t);  % 调幅包络
b = 0.5 * sin(2 * pi * fp * t);  % 调相
c = cos(2 * pi * fc * t);  % 载波
s = a .* cos(2 * pi * fc * t + b);  % 调制信号


%% Hilbert分析 
s_analy = hilbert(s);  % Matlab的hilbert命令得到的是解析信号
sh = imag(s_analy);  % 调制信号的希尔伯特变换
envelope = abs(s_analy);  % 解析信号包络的绝对值
angle = unwrap(angle(s_analy));  % 解析信号的相位
fi = diff(angle) / 2 / pi * fs;  % 瞬时频率

% 作图
figure;
subplot(2, 2, 1);plot(t, a); title('包络（调幅信号）');
subplot(2, 2, 2); plot(t, b); title('调相信号');
subplot(2, 2, 3); plot(t, c); title('载波');
subplot(2, 2, 4); 
plot(t, s, 'b'); hold on;
plot(t, sh, 'r--'); hold off;
legend('调制结果', '调制信号的希尔伯特变换'); title('调制信号');


%% FFT分析
NFFT = 2 ^ nextpow2(N);
f = (0 : NFFT-1) / NFFT * fs;

sFFT = fft(s, NFFT);  % 原始信号FFT
saFFT = fft(s_analy, NFFT);  % 解析信号FFT
envFFT = fft(envelope, NFFT);  % 包络的FFT

figure;
subplot(3, 2, 1); 
plot(t, envelope); hold on;
plot(t, a, '--'); hold off; 
legend('瞬时包络绝对值', '真实包络'); title('瞬时包络');
subplot(3, 2, 2); plot(t, angle); title('瞬时相位');
subplot(3, 2, 3); plot(t(2:end), fi); title('瞬时频率');
subplot(3, 2, 4); plot(f, abs(sFFT)); title('原始信号FFT');
subplot(3, 2, 5); plot(f, abs(saFFT)); title('解析信号FFT');
subplot(3, 2, 6); plot(f, abs(envFFT)); title('包络的FFT');