参考：
https://www.zhihu.com/question/19967778
http://blog.csdn.net/mr_hai_cn/article/details/53207307
希尔伯特空间（Hilbert空间）
Hilbert空间, 基底一般是函数,常见的是含有各种频率的平面波函数,一种频率对应一个基底，维度是无穷。这些基底, 即平面波函数是完备的(Hilbert空间中的任何元素都可以用平面波函数展开, 其实就是指傅里叶变换),并且 正交(平面波函数做”点积”为delta函数)。
换个角度说，Hilbert空间就是內积空间+完备性。
那么什么是內积空间呢？在线性空间上定义内积，该空间称为内积空间。内积可在空间形成例如交角，垂直和投影等，故习惯上称其为欧几里得空间。所以，我们平日中生活的空间就是欧几里得空间。
而完备性简单地说就是空间在极限运算中，取极限不能跑出去。所以，显然有理数集，无理数集不具有完备性。实数集具有完备性。