简介：信号与系统2023年春季期末考试简答题有一道关于希尔伯特变换的证明题，由于时间原因以及对该部分知识的熟练度不够，没能拿到相关分数。考试结束后查看该题解析时，决定写一篇关于希尔伯特变换的知识类综述，遂有此文。

关键词： 希尔伯特变换，信号与系统，小论文，应用

吴雨琪 CDIE0 2020012460

01 定义

一个连续时间信号 $x\left( t \right)$ 的希尔伯特变换定义为该信号通过冲激响应为
$h\left( t \right) = {1 \over {\pi t}}$

的线性系统后的输出 $H_x \left( t \right)$ 。

具体公式为

$H_x \left( t \right) = x\left( t \right) * h\left( t \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } { { {x\left( \tau \right)} \over {\pi \left( {t - \tau } \right)}}d\tau }$

（考虑此积分的柯西主值）

02 历史回顾

希尔伯特变换的历史可以追溯到19世纪末20世纪初。

1905年，德国数学家大卫·希尔伯特在研究黎曼希尔伯特问题时首次提出了希尔伯特变换的概念。

知识补充1：什么是黎曼希尔伯特问题？

黎曼希尔伯特问题（Riemann-Hilbert problem）是数学中关于复变函数和解析函数的一个重要问题，由德国数学家贝尔纳·黎曼和大卫·希尔伯特独立提出的。

黎曼希尔伯特问题的基本形式可以描述如下：给定一个开放复平面区域，已知该区域上一些点的数值条件以及该开放区域的边界条件，找到一个单值解析函数，使其在该区域内满足一些特定条件（如单值性、解析性、连续性等）。

知识补充2：大卫·希尔伯特

大卫·希尔伯特，著名德国数学家，生于1862年，逝世于1943年，被认为是20世纪最重要的数学家之一，对数学的发展做出了杰出的贡献。他多产而全面，其研究工作涵盖了代数学、数学逻辑、几何学、数论、微分方程、数学物理等领域，对数学的发展产生了深远的影响。

以下是希尔伯特在数学领域的部分重要贡献：

希尔伯特空间：希尔伯特引入了希尔伯特空间的概念，这是一个完备的内积空间，为函数分析提供了强大的工具和框架；
群论和域论：希尔伯特研究了群论和域论的基本结构和性质，提出了许多重要的定理和概念，如希尔伯特定理和域扩张等；
微分方程：希尔伯特研究了微分方程的基本理论和解的存在性问题，并对偏微分方程提出了重要的思想和方法。

1946年，德国籍匈牙利裔物理学家、工程师和数学家丹尼尔·格拉斯托·加伯尔(Gabor)引入了解析信号的概念，将希尔伯特变换引入信号处理领域，为信号分析和调制提供了新的视角和工具。解析信号可以表示为

$A\left( t \right) = F\left( t \right) + jH\left( t \right)$

其中，H(t)是F(t)的希尔伯特变换。

知识补充3：解析信号在信号处理领域的重要性质及应用

信息包含全面：解析信号由实信号及其希尔伯特变换构成，包含了实信号在时域和频域中的全部信息：实信号表示信号的振幅部分，希尔伯特变换表示信号的相位部分。解析信号同时蕴含信号的振幅和相位信息，从而更全面展示信号的特性；
辅助包络分析：包络分析是对信号的快速变化进行捕捉和分析的过程，可以用于检测信号中的关键事件或特征。解析信号的振幅部分提供了信号的包络信息，使得包络分析更加准确和可靠；
调制特征提取：调制是改变信号的某些属性（如振幅、频率或相位）以传输信息的过程。通过分析解析信号的相位部分可以提取出信号的调制特征；

解析信号在信号处理中被广泛应用于语音处理、音频处理、图像处理、通信系统、信号恢复、模式识别等领域。通过分析解析信号的振幅和相位信息，可以实现信号的分析、处理、压缩、传输和重构等任务，提高信号处理的效果和准确性。

知识补充4：丹尼尔·格拉斯托·加伯尔

丹尼尔·格拉斯托·加伯尔，德国籍匈牙利裔物理学家、工程师和数学家，生于1900年，逝世于1979年，是一位研究涉猎甚广的杰出科学家，在物理学、电子工程、通信技术和计算机科学等方面都有重要贡献。

Gabor在1946年发表的论文《Theory of Communication》中引入了解析信号和Gabor变换的概念。

他将解析信号定义为实信号及其希尔伯特变换的复合形式，在时域和频域中提供了信号的完整信息。

Gabor变换的核心思想则是通过将信号与一个窗函数进行卷积，得到信号的时频表示。

03 重要应用

希尔伯特变换的重要应用

（一）生成解析信号

希尔伯特变换可以用于生成解析信号，详细请参照本文前述内容。

（二）频率分析

希尔伯特变换可以用于提取信号的瞬时频率、相位信息和调制特征。

希尔伯特变换可以用于分析信号的瞬时频率，特别是调频信号。调频信号是在时间上频率变化的信号，通过对调频信号应用希尔伯特变换，可以提取信号的瞬时频率信息，揭示信号的频率变化规律。

希尔伯特变换还可以用于分析信号的相位调制特征。通过分析信号的相位信息，可以提取出信号的调制特征和调制参数。例如，我们考虑一个振幅随时间变化的调幅信号，通过对该信号应用希尔伯特变换，可以获得该信号的相位信息，从而对调幅信号进行进一步分析。

（三）相位修正

希尔伯特变换可以用于校正信号在传输和处理过程中引入的相位偏移或相位失真。

假设有一段音频信号，经过传输或处理后其相位发生了偏移。为了纠正相位偏移并恢复原始信号的相位特征，可以使用希尔伯特变换。原始信号的频率、振幅和相位都是已知的。

首先对原始信号应用希尔伯特变换，从希尔伯特变换后的信号中提取相位信息，从而计算处理后的信号与原始信号的相位偏移量；将处理后信号的相位值加上相位偏移量，得到修正后信号的相位信息；最后，将修正后的信号与原始信号的振幅相乘，以保持振幅不变，得到最终的修正信号。

需要注意的是，希尔伯特变换的相位修正方法仅适用于已知频率和相位信息的信号。如果信号的频率或相位未知，就需要结合其他方法来估计信号的频率和相位。希尔伯特变换还可以与其他相位修正技术结合，进一步提高相位修正的效果。

（四）图像处理

希尔伯特变换在边缘检测、图像增强和纹理分析等方面也有着广泛应用，用于捕捉图像的边缘和细节信息。

边缘检测是图像处理中的一项重要任务，用于识别图像的轮廓信息。首先将彩色图像转换为灰度图像，简化处理过程；然后对灰度图像应用希尔伯特变换，希尔伯特变换将图像转换为复数形式，其中实部包含图像的强度信息，虚部包含图像的边缘信息；分析希尔伯特变换结果中的虚部部分，从中提取边缘信息；使用边缘检测算法，将提取到的边缘信息转换为标记图像，将图像中的边缘区域与背景分离；对提取到的边缘进行边缘平滑、边缘连接和细化等后处理，改善边缘的连续性和清晰度。

希尔伯特变换在多个领域有着广泛的应用，是一种非常重要的数学分析工具。由于篇幅限制，本文提到的许多名词并未给出详细解释，有待之后进一步补充和完善。

希尔伯特变换综述