离散非周期信号傅里叶变换 — Fourier Transform of Discrete-Time Aperiodic Signals

离散非周期傅里叶变换的思想就是将非周期信号拼接成为周期的离散信号来处理。如下图所示：

离散非周期信号 $x[n]$拼接成周期信号 $\widetilde{x}[n]$， $n2-n1=N$。从而我们可以得到 $\widetilde{x}[n]$的傅立叶级数表示：
$\widetilde{x}[n] = \sum_{k=<N>}^{} X_{k}e^{ik\frac{2\pi}{N}n}$
其中， $X_{k} = \frac{1}{N} \sum_{n=<N>}^{}\widetilde{x}[n]e^{-ik\frac{2\pi}{N}n}$。由于 $n2-n1=N$，且 $x[n] = \widetilde{x}[n]$在区间 $[n1,n2]$，而对于区间 $[n1,n2]$之外的值， $x[n]=0$。所以得：
$X_{k} = \frac{1}{N} \sum_{n=n1}^{n2}x[n]e^{-ik\frac{2\pi}{N}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-ik\frac{2\pi}{N}n}$

令 $X(e^{iw}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-iwn}$，其中 $w = kw_{0} = k\frac{2\pi}{N}$。得：
$X_{k} = \frac{1}{N}X(e^{ikw_{0}})$
将上式代入 $\widetilde{x}[n]$的傅立叶级数，得：
$\begin{aligned} & \widetilde{x}[n] = \sum_{k=<N>}^{} \frac{1}{N}X(e^{ikw_{0}})e^{ik\frac{2\pi}{N}n} \\ & = \frac{1}{2\pi} \sum_{k=<N>}^{} X(e^{ikw_{0}})e^{ikw_{0}n}w_{0} \end{aligned}$

另因为 $k$为整数， $dk$表示 $k$值一次的变化量，所以 $dk=1$。那么 $\sum_{k=<N>}^{} \dots dk$等价于 $\int_{k=<N>}^{} \dots dk$。因此，上式继续推导：
$\begin{aligned} & \widetilde{x}[n] = \frac{1}{2\pi} \sum_{k=<N>}^{} X(e^{ikw_{0}})e^{ikw_{0}n}w_{0} \\ & = \frac{1}{2\pi} \int_{k=<N>}^{} X(e^{ikw_{0}})e^{ikw_{0}n}w_{0}dk \\ & = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}^{} X(e^{iw})e^{iwn}dw \end{aligned}$

当 $N \rightarrow \infty$时， $\widetilde{x}[n] = x[n]$。至此，我们已经得到离散信号 $x[n]$的傅里叶变换 $X(e^{iw})$，且信号 $x[n]$为 $X(e^{iw})$得逆变换。如下：
$\begin{cases} & x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}^{} X(e^{iw})e^{iwn}dw \\ & X(e^{iw}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-iwn} \end{cases}$

2维离散非周期傅里叶变换

$\begin{cases} & x[m,n] = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{2\pi}^{}\int_{2\pi}^{} X(e^{iw_{1}},e^{iw_{2}})e^{i(w_{1}m+w_{2}n)}dw_{1}dw_{2} \\ & X(e^{iw_{1}},e^{iw_{2}}) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[m,n]e^{-i(w_{1}m+w_{2}n)} \end{cases}$