连续非周期信号傅里叶变换 — Fourier Transforms of Continuous-Time Aperiodic Signals

之前写过一篇关于连续周期信号傅里叶级数的文章，是将任何一个周期函数分解为一系列正弦函数或指数组合的工具。而本文的傅里叶变换则是被用来将一个非周期函数分解为一系列正弦函数或指数的组合。【本文的推导是基于傅里叶级数，强烈建议先了解连续周期信号傅里叶级数】

一个周期函数的傅里叶级数为：
$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} [\frac{\omega_{0}}{2\pi} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}f(t)e^{-ik\omega_{0} t}dt] e^{ik\omega_{0} t}$
其中， $\omega_{0}$为基频，即为角频率的最小单元； $k$为整数，取值从负无穷到正无穷。

傅里叶变换的思想就是将非周期函数作为周期为无穷的周期函数处理。因此，上式变化为：
$\begin{aligned} & f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} [\frac{\omega_{0}}{2\pi} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega_{0}}}f(t)e^{-ik\omega_{0} t}dt] e^{ik\omega_{0} t} \\ & = \sum_{k=-\infty}^{\infty} [\frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-ik \frac{2\pi}{T} t}dt] e^{ik \frac{2\pi}{T} t} \end{aligned}$
令上式中 $\frac{2\pi k}{T} = \omega$【由于周期 $T$值无穷大，所以 $\omega$值无穷小】。另因为 $k$为整数， $dk$表示 $k$值一次的变化量，所以 $dk=1$。那么 $\sum_{k=-\infty}^{\infty} \dots dk$等价于 $\int_{-\infty}^{\infty} \dots dk$。因此，上式继续推导：
$\begin{aligned} & f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} [\frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-ik \frac{2\pi}{T} t}dt] e^{ik \frac{2\pi}{T} t} \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} [\frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-ik \frac{2\pi}{T} t}dt] e^{ik \frac{2\pi}{T} t} dk \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} [\frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt] e^{i\omega t} \frac{T}{2\pi}d\omega \\ & = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} [\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt] e^{i\omega t} d\omega \end{aligned}$

令 $X(i\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$，得到函数上式的另一种形式：
$\begin{cases} & f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(i\omega) e^{i\omega t} d\omega \\ & X(i\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt \end{cases}$

至此，我们已经得到函数 $f$的傅里叶变换 $X$，且函数 $f$称为函数 $X$的逆变换。