Fourier transform

傅立叶变换

1.1 简介

       傅立叶变换是一种函数 变换，既可以指变换操作本身，也可指变换产生的复数函数。原函数表示为 $f$,原函数傅立叶变换产生的函数表示为 $\widehat f$。傅立叶变换用于分析信号并确定其基本成分。

1.2 定义

       （连续）傅里叶变换将可积函数 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$表示成复指数函数的积分或级数形。

        $\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx$，ξ为任意实数。

       自变量x表示时间（以秒为单位），变换变量ξ表示频率（以赫兹为单位）。在适当条件下， ${\displaystyle {\widehat f}}$可由逆变换（inverse Fourier transform）由下式确定 ${\displaystyle f}$：

        ${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,d\xi } f(x) = \int_{-\infty}^\infty \hat f(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,d\xi$，x为任意实数。
        ${\displaystyle f} 和 {\displaystyle {\widehat {f}}}$常常被称为傅里叶积分对 或傅里叶变换对。

1.3 常用性质

• 线性性质
  两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ 和 ${\displaystyle g\left(x\right)}$的傅里叶变换 ${\displaystyle {\mathcal {F}}[f]}$和 ${\displaystyle {\mathcal {F}}[g]}$都存在， ${\displaystyle \alpha }$ 和 ${\displaystyle \beta }$ 为任意常系数，则 ${\displaystyle {\mathcal {F}}[\alpha f+\beta g]=\alpha {\mathcal {F}}[f]+\beta {\mathcal {F}}[g]}$；傅里叶变换算符 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$可经归一化成为幺正算符。
• 平移性质
  若函数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ 存在傅里叶变换，则对任意实数 ${\displaystyle \omega _{0}}$，函数$ {\displaystyle f(x)e^{i\omega _{0}x}}$也存在傅里叶变换，且有 ${\displaystyle {\mathcal {F}}[f(x)e^{i\omega _{0}x}]=F(\omega -\omega _{0})}$。式中花体 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是傅里叶变换的作用算子，平体 ${\displaystyle F}$ 表示变换的结果（复函数）， ${\displaystyle e}$ 为自然对数的底， ${\displaystyle i}$为虚数单位 ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$。
• 卷积性质
  若函数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$及$ {\displaystyle g\left(x\right)}$ 都在 ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$上绝对可积，则卷积函数 ${\displaystyle f*g=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x-\xi )g(\xi )d\xi }$（或者$ {\displaystyle f*g=\int _{-\infty }^{+\infty }f(\xi )g(x-\xi )d\xi }$)的傅里叶变换存在，且 ${\displaystyle {\mathcal {F}}[f*g]={\mathcal {F}}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g]}$。卷积性质的逆形式为 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}[F(\omega )*G(\omega )]=2\pi {\mathcal {F}}^{-1}[F(\omega )]\cdot {\mathcal {F}}^{-1}[G(\omega )]}$，即两个函数卷积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以 ${\displaystyle 2\pi }$。

1.4 参考

维基百科