「学习笔记」Fast Fourier Transform 快速傅里叶变换

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快速傅里叶变换（ $\text{Fast Fourier Transform,FFT}$ ）是一种能在 $O(n \log n)$的时间内完成多项式乘法的算法，在 $OI$中的应用很多，是多项式相关内容的基础。下面从头开始介绍 $\text{FFT}$。

前置技能：弧度制、三角函数、平面向量。

多项式

形如 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$的式子称为 $x$的 $n$次多项式。其中 $a_0,a_1,...,a_n$称为多项式的系数。

系数表达法

上面定义中的表示就是系数表达法。其系数可看成 $n+1$维向量 $\vec a=(a_0,a_1,...,a_n)$。

点值表达法

把多项式看成一个函数，点值表示就用它图像上的 $n+1$个不同的点 $(x_0,y_0),...,(x_n,y_n)$来确定这个多项式。多项式有不止一个点值表示，可以证明每个点值表示确定唯一的系数表达多项式。

复数

虚数单位

$i$被称为虚数单位。规定 $i=\sqrt {-1}$。

复平面

复数的平面由 $x,y$轴组成。 $x$轴称为实轴， $y$轴称为虚轴。平面内的每一个从原点到某个点 $(a,b)$的向量 $\vec a=(a,b)$表示复数 $a+bi$.

复数的模长： $\sqrt {a^2+b^2}$.实轴到复数向量的转角 $\theta$称为幅角。

复数的基本运算

• 复数的加（减）法： $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

• 复数的乘法： $(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i$

• 一个结论：复数乘法，模长相乘，幅角相加。

共轭复数

$a+bi$与 $a-bi$互为共轭复数。

单位根

$n$次单位根是满足 $z^n=1$的 $n$个复数，它们均分复平面的单位圆。

这些复数满足模长为 $1$，幅角的 $n$倍是 $2\pi$的倍数

根据欧拉公式：

欧拉公式： $e^{xi}=\cos x+i \sin x$，其中 $e$为自然对数的底数， $i$为虚数单位。

可得 $n$次单位根为 $e^{\frac{2\pi ki}{n}},k\in [0,n-1]$

得：记 $\omega_n=e^{\frac{2\pi i}{n}},$则 $n$次单位根为 $\omega_n^0,...,\omega_n^{n-1}$

单位根的性质

性质 $1$：根据定义得到： $\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k}$

性质 $2$： $\omega_{n}^{\frac{n}{2}+k}=-\omega_n^k$

证明：

$\omega_{n}^{\frac{n}{2}}=e^{\frac{2\pi i}{n} \frac{n}{2}}=e^{\pi i}=\cos \pi+i \sin \pi=-1$

$\omega_{n}^{\frac{n}{2}+k}=\omega_{n}^{\frac{n}{2}}\omega_{n}^{k}=-\omega_n^k$

Fast Fourier Transform

多项式乘法

系数表达的多项式乘法： $c(x)=a(x)b(x)$，则 $c(x)=\sum_{i=0}^{2n} c_i x^i$

其中 $c_i=\sum_{j=0}^{n}a_jb_{i-j}$.

时间复杂度 $O(n^2)$

点值表达的多项式乘法：

时间复杂度 $O(n)$

因此多项式乘法的基本思路是先插值得到点值表达，再 $O(n)$乘，最后求值得到系数表达。

DFT

把 $n$次单位根 $\omega_n^0,...,\omega_n^{n-1}$带入多项式 $A(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$，

得到点值向量 $\vec y=(A(\omega_n^0),A(\omega_n^1),...,A(\omega_n^{n-1}))$，

称为系数向量 $\vec a=(a_0,a_1,...,a_n)$的离散傅里叶变换（ $\text{Discrete Fourier Transform, DFT}$），写作 $\vec y=\text{DFT}_n(\vec a)$。

直接求 $\text{DFT}$是 $O(n^2)$的。 $\text{FFT}$的常用算法 $\text{Cooley-Tukey}$使用分治方法做到 $O(n\log n)$.

以下讨论基于 $n=2^m,m \in \N$，若不足则高位系数补 $0$.

考虑点值向量的第 $k+1$维：

$A(\omega_{n}^{k})=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(\omega_{n}^{k})^{i}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_{n}^{ki}$

$=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{n}^{2ki}+\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{n}^{2ki+k}$

$=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{n}^{2ki}+\omega_{n}^{k}\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{n}^{2ki}$

利用性质1： $\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k}$

当 $k<\frac{n}{2}$时：

$A(\omega_{n}^{k})=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki}+\omega_{n}^{k}\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki}$

并且可以推出：

$A(\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}})=(-1)^{\frac{n}{2}}\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki}+(-1)^{\frac{n}{2}}\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki}$

利用性质2： $\omega_{n}^{\frac{n}{2}+k}=-\omega_n^k$

$A(\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}})=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki}-\omega_n^k\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki}$

上面把求和分成 $0,2,...,n-2$与 $1,3,...,n-1$两部分，把大小为 $n$的问题转化成两个规模为 $\frac{n}{2}$的子问题，可以进行分治求解了。

IDFT

求值过程使用离散傅里叶逆变换（ $\text{Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT}$）

结论：只要把 $\text{DFT}$的 $\omega_n$都取倒数，最后除以 $n$即可。

证明：

设 $\vec Y=(y_0,y_1,...,y_n)$为 $\vec A = (a_0,a_1,...,a_n)$的离散傅里叶变换。

考虑一个向量： $\vec C=(c_0,c_1,...,c_n)$满足 $c_k=\sum_{i=0}^{n-1}y_i(\omega_n^{-k})^i$

（即 $\vec C$是多项式 $\vec Y$在 $\omega_n^0,\omega_n^{-1},...,\omega_n^{-(n-1)}$处的点值）

将上式展开：

$c_k=\sum_{i=0}^{n-1}y_i(\omega_n^{-k})^i$

$=\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^i)^j)(\omega_n^{-k})^i$

$=\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^j)^i)(\omega_n^{-k})^i$

$=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^j)^i(\omega_n^{-k})^i$

$=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^{j-k})^i$

$=\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{j-k})^i)$

考虑一个前缀和 $S(\omega_n^k)=1+\omega_n^k+(\omega_n^k)^2+...+(\omega_n^k)^{n-1}$。

当 $(\omega_n^k)\not = 1$即 $k\not = 0$时，使用等比数列求和方法：

$\omega_n^kS(\omega_n^k)=\omega_n^k+(\omega_n^k)^2+(\omega_n^k)^3+...+(\omega_n^k)^{n}$

$\omega_n^kS(\omega_n^k)-S(\omega_n^k)=(\omega_n^k)^{n}-1$

$S(\omega_n^k)=\frac{(\omega_n^k)^{n}-1}{\omega_n^k-1}$

分母不为 $0$，分子 $(\omega_n^k)^{n}-1=(\omega_n^n)^{k}-1=1^{k}-1=0$

因此 $k\not = 0$时， $S(\omega_n^k)=0$

$k=0$时， $S(\omega_n^k)=n(\omega_n^k)^0=n$

继续考虑刚刚那个式子

$c_k=\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{j-k})^i)$

只有 $j-k=0$时 $\sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{j-k})^i$才为 $n$，否则为 $0$。

$c_k=a_kn$

得到结论： $a_k=\frac{c_k}{n}$。

再次总结一下，离散傅里叶逆变换就是先求出多项式在 $\omega_n^0,\omega_n^{-1},...,\omega_n^{-(n-1)}$处的点值表示，再每一项除以 $n$。

递归版代码

//Luogu P3803 多项式乘法
#include <complex>
#include <cstdio>
using namespace std;

typedef complex<double> comp;

const int N = (1 << 20) + 10 << 1;
const double PI2 = 2.0 * acos(-1.0);

int read() {
	int x = 0; char c = getchar();
	for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) ;
	for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())
		x = x * 10 + (c & 15);
	return x;
}

int n, m;
comp a[N], b[N];

void fft(int n, comp * a, int type) {
	if(n == 1) return ;
	comp a1[n >> 1], a2[n >> 1];
	for(int i = 0; i < n; i += 2)
		a1[i >> 1] = a[i], a2[i >> 1] = a[i + 1];
	fft(n >> 1, a1, type), fft(n >> 1, a2, type);
	comp w(1, 0), wn(cos(PI2 / n), type * sin(PI2 / n));
	for(int i = 0; i < n >> 1; i ++, w *= wn)
		a[i] = a1[i] + w * a2[i], 
		a[i + (n >> 1)] = a1[i] - w * a2[i];
}

int main() {
	n = read(), m = read();
	for(int i = 0; i <= n; i ++) a[i] = read();
	for(int i = 0; i <= m; i ++) b[i] = read();
	
	int lim = 1;
	for(; lim <= n + m; lim <<= 1) ;
	
	fft(lim, a, 1), fft(lim, b, 1);
	for(int i = 0; i <= lim; i ++) a[i] *= b[i];
	fft(lim, a, -1);
	
	for(int i = 0; i <= n + m; i ++)
		printf("%d ", (int)(0.5 + a[i].real() / lim));
	return 0;
}

FFT 的优化

迭代优化

蝴蝶操作

待更。qwq