【博弈找规律问题汇总】

HDU1847 —— Good Luck in CET-4 Everybody!

题意：n张牌，轮流抓牌，每次抓的牌数是2的幂次，最后抓完牌的胜。 $(1\leq n\leq 1000)$

思路：首先写在这个汇总题集的最前面，博弈问题，大致分为三类，① 经典模型 ② SG函数 ③ 找规律，而此题集主要针对的也是此类找规律问题。

对于此题，的确可以用 $SG$函数解决，但是我们可以先找一下规律，不要着急下手。(实测，SG函数会T…)

此处用W表示Win，F表示Fail。1 - W 、2 - W、3 - F、4 - W、5 - W、6 - F…列的再多一些，就可以明显地发现当n为3倍数时，Fail，否则Win。这也是找规律的常见手段，枚举状态找规律。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
#define LOG3(x1,x2,y1,y2,z1,z2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << " , " << z1 << ": " << z2 << endl;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 1000+100;
const int M = 1e5+100;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;

int n;

int main()
{
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		if(n%3 == 0) printf("Cici\n");
		else printf("Kiki\n");
	}
	return 0;
}

/*
n张牌，轮流抓牌，每次抓的牌数是2的幂次，最后抓完牌的胜
*/

---

HDU2147 —— kiki’s game

题意：推方格，从(n,m)开始推，每次只能往左一格，往下一格，往左下一格，不能推了则为输。 $(0<n,m\leq 2000)$

思路：博弈问题本质是个游戏，拿到问题的第一步应该是对于小状态进行模拟，很多简单找规律的问题都会迎刃而解。

$1$表示必胜态， $0$表示必败态，可以发现 $0$出现的位置是固定的，即行数列数均为奇数的地方，由此此题解决。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
#define LOG3(x1,x2,y1,y2,z1,z2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << " , " << z1 << ": " << z2 << endl;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 2000+1;
const int M = 1e5+100;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;

int n,m;

int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))
	{
		if(n == 0 || m == 0) break;
		if(n%2 && m%2) printf("What a pity!\n");
		else printf("Wonderful!\n");
	}
	return 0;
}

/*
推方格，从(n,m)开始推，每次只能往左一格，往下一格，往左下一格，不能推了则为输。
*/

---

POJ1740 —— A New Stone Game

题意：对于n堆石子，每堆若干个，两人轮流操作，每次操作分两步。① 从某堆中去掉至少一个 ② (可省略) 把该堆剩余石子的一部分分给其它的某些堆。最后谁无子可取即输。

思路：此时可以先考虑只有两堆石子的时候，应该如何判断。不难发现，假如两堆石头一样多，则后者可以完全模仿前者的操作 (“模仿”与“两两分组”是最常见的博弈手段之一)，因此我们可以考虑将相同堆数的石头进行两两分组。

不难发现，如果石头堆数为偶数个，且恰好可以两两分组，并且每组中石头个数一致，则一定是必败态。即下图这种情况。

然后我们来证明其他所有情况均可转化为必胜态。假如 $n$为奇数，则一定可以利用最多的那堆石子，将其他 $n-1$堆石子进行两两分组。如下图所示，利用A部分使得第一堆与第二堆相同，利用B部分使第三堆和第四堆相同。

如果石子个数为偶数，但是并不能恰好两两分组，则将最大的一堆石子与最小的那堆石子进行匹配，然后利用最大的那堆石子填充其余每组石子之间的差距，构造出一个必败态。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
#define LOG3(x1,x2,y1,y2,z1,z2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << " , " << z1 << ": " << z2 << endl;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 1e5+100;
const int M = 1e5+100;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;

int n,vis[N];

int main()
{
	while(~scanf("%d",&n)){
		if(!n) break;
		rep(i,0,100) vis[i] = 0;
		rep(i,1,n){
			int xx; scanf("%d",&xx);
			vis[xx]++;
		}
		if(n%2 == 1){
			printf("1\n");
			continue;
		} 
		int jud = 0;
		rep(i,0,100){
			if(vis[i]%2 == 1) jud = 1;
		}
		if(jud) printf("1\n");
		else printf("0\n");
	}
	return 0;
}

/*
对于n堆石子，每堆若干个，两人轮流操作，每次操作分两步.
第一步从某堆中去掉至少一个.
第二步（可省略）把该堆剩余石子的一部分分给其它的某些堆。最后谁无子可取即输。
*/

---

HDU4388 Stone Game II

题意： $n$堆石子，每堆石子有一定的数目，每次操作任选一堆石子，该堆石子原数目为 $x$，取石子至仅剩 $k$个，要求k ^ x < x。取完石子后再增加一堆石子，石子个数为k ^ x。每个选手在每轮游戏中仅有一次机会将增加的那一堆石子个数改为2*k^x。问谁能获胜。

思路：这个题的主要难点在于如何处理k ^ x < x的问题，这个限制有什么性质。因此我们需要打表，查看k与k ^ x与x的关系，打表之后可以发现无论如何取，x与k ^ x二进制形式中 $1$的个数与 $x$中 $1$的个数奇偶性相同。

假设一堆个数为 $x$的石子，二进制中有 $k$个 $1$，最后分为了 $m$堆，由于最后每一堆石子个数二进制形式中都只有 $1$个 $1$，因此 $m$与 $k$奇偶性相同。而 $m$堆即分了 $m-1$次，所以通过 $m$的奇偶性即可判定先手胜负。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
#define LOG3(x1,x2,y1,y2,z1,z2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << " , " << z1 << ": " << z2 << endl;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 1e5+100;
const int M = 1e5+100;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;

int countt(int x){
  int num = 0;
  while(x){
    if(x&1) num++; 
    x >>= 1;
  }
  return num;
}

int main()
{
  int _,n,tp; scanf("%d",&_);
  rep(kk,1,_){
    scanf("%d",&n); tp = 0;
    rep(i,1,n){
      int xx; scanf("%d",&xx);
      tp += countt(xx)-1;
    }
    printf("Case %d: ",kk);
    if(tp%2) printf("Yes\n");
    else printf("No\n");
  }
}

/* 打表程序
int main()
{
  int n = 100;
  rep(i,1,n){
    printf("************\n");
    LOG2("i",i,"num",countt(i));
    rep(j,1,i-1){
      if((j^i) < i){
        LOG3("j",j,"j^i",(j^i),"num",(countt(j)+countt(j^i)));
      }
    }
  }
  return 0;
}*/

---

总结：

找规律问题经常在博弈问题中出现，不属于特定的模型，但是需要找到规律。而找规律通常的方法有 ① 小状态枚举 ② 打表找规律 ③ 奇偶讨论、两两分组、模仿先手行为等策略。