螺旋折线(找规律解决问题)

问题描述：

对于如下图所示的图形，该螺旋折线经过平面上所有整点恰好一次。
对于整点(X, Y)，我们定义它到原点的距离dis(X, Y)是从原点到(X, Y)的螺旋折线段的长度。
例如dis(0, 1)=3, dis(-2, -1)=9
给出整点坐标(X, Y)，你能计算出dis(X, Y)吗？

分析：

这个图形是有规律而循的，只需要找到它的规律，便可以解决类似问题。这类问题也是在编程时最喜欢遇到的问题，言简意赅，所求明确，找出规律，列出通式，由特殊到一般。

由该图可以看出两个坐标轴上的整点是特殊点，寻找规律，列出通式，很容易解决问题。而且都是整点，也就是坐标都是整数，有正有负，但是没有浮点数，比较简单。

1以y轴为参考点

当y >= 0 时：

首先找出几个特殊点：
dis（0,0） = 0；
dis（0,1） = 1 + 1 + 1；
dis（1,1） = 1 + 1 + 1 +1；
dis（0,2） = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 2；
dis（2,2） = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 2 + 2；
dis（0,3） = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 3；
dis（3,3） = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 3 + 3；
（其余式子也是这个规律）
规律为 两个以2y - 1为通式的等差数列的前n项和再加上y再加X；
即dis = (2 * y) * (2 * y - 1) + y + x;

当y < 0 时：

同理可得：
dis（0,-1） = 1 + 1 + 2 + 2 + 1；
dis（-1,-1） = 1 + 1 + 2 + 2 + 1 - （-1）；
dis（0,-2） = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 2；
dis（-2,-2） = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 2 - （-2）；
dis（0,-3） = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 6 + 3；
dis（-3,-3） = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 6 + 3 - （-3） ；
首先对y取绝对值，dis为两个以2|y|为通式的等差数列前n项和再加上|y|减去x；
即：dis = (2 * y) * (2 * y + 1) + y - x;

以x轴为参考点：

以x轴为参考点也是通过找几个点找出其存在的规律，当以x轴为参考点时也要考虑y的正负，分情况讨论。
在此不讨论这种情况。

代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int dis(int x, int y)                           //以y轴上的点为关键点
{
	int dis;                                       //距离
	if (y >= 0)                                 //从（0，0）点开始
	{
		dis = (2 * y) * (2 * y - 1) + y + x; 
	}
	else
	{
		y = abs(y);                             //绝对值
		dis = (2 * y) * (2 * y + 1) + y - x;
	}
	return dis;
}
int main()
{
	int x, y;
	cin >> x;
	cin >> y;
	cout << dis(x, y) << endl;
	return 0;
}