算法导论 — 思考题6-1 用插入的方法建堆

（用插入的方法建堆）我们们可以通过反复调用MAX-HEAP-INSERT实现向一个堆中插入元素，考虑BUILD-MAX-HEAP的如下实现方式：
　　
　　a. 当输入数据相同的时候，BUILD-MAX-HEAP和BUILD-MAX-HEAP’生成的堆是否总是一样？如果是，请证明；否则，请举出一个反例。
　　b. 证明：在最坏情况下，调用BUILD-MAX-HEAP’建立一个包含 $n$个元素的堆的时间复杂度是 $Θ(n{\rm lg}n)$。
　　
　　解
　　a.
　　两种方法生成的堆有可能不一样。例如，取 $A$ = {1, 2, 3, 4}。采用BUILD-MAX-HEAP生成的堆为
　　
　　而采用BUILD-MAX-HEAP’(插入方法)生成的堆为
　　
　　b.
　　最坏情况为 $A$中的元素按升序排列。此时，每插入一个元素 $i$，都要将该元素移动到根结点，移动的步数为当前元素在堆中的深度 $d_i$。建堆的总时间取决于插入每个元素所移动的步数之和，即堆中所有元素的深度之和。
　　简化分析，假设最终建立的堆为一棵满二叉树，它的高度为 $h=⌊{\rm lg}n⌋$，并且堆中的元素个数为 $n=2^{h+1}-1$。我们对每一层进行分析，可以得到下表。
　　
　　将每一层所有结点的深度和相加，即可得到整个堆中所有元素的深度之和 $T(n)$。
　　
　　因此，在最坏情况下，用插入方法建立一个包含 $n$个元素的堆的时间复杂度是 $Θ(n{\rm lg}n)$。