算法导论 — 6.1 堆

笔记

本节主要给出（二叉）堆的定义。堆是一种用数组保存的完全二叉树。完全二叉树的意思是，除了树的最底层，其他层都完全充满的。树中的元素按照从上到下、从左到右的顺序保存在数组中。下图给出了堆的一个例子，左图是完全二叉树的形式，右图是堆在数组中的表示。
　　
　　如果用 $A$表示堆所在的数组，那么 $A.length$表示数组的容量，即数组最多可容纳的元素的个数； $A.heap\_size$表示堆中的元素个数。显然有 $A.heap\_size ≤ A.length$。树的根结点是元素 $A[1]$。
　　给定一个结点的下标 $i$，根据下式可以得到它的父结点、左孩子和右孩子的下标：
　　
　　以上3个公式成立的前提是数组下标从1开始，这是《算法导论》这部书的约定。我们写C/C++代码时，数组下标是从0开始的。在这种情况下，上面3个公式应当变为
　　
　　二叉堆分两种：最大堆和最小堆。在最大堆中，除了根以外的所有结点 $i$都要满足以下性质。即对于任意一棵子树，子树的根结点一定是子树的最大元素。
　　
　　相反地，在最小堆中，除了根以外的所有结点 $i$都要满足以下性质。即对于任意一棵子树，子树的根结点一定是子树的最小元素。
　　

练习

6.1-1 在高度为 $h$的堆中，元素个数最多和最少分别是多少？
　　解
　　高度为 $h$的堆一共有 $h+1$层。第一层有 $1$个元素，第二层有 $2$个元素，第三层有 $4$个元素，以此类推。除最后一层外，第 $i$层有 $2^{i-1}$个元素。
　　最后一层为第 $h+1$层，最少有 $1$个元素，最多有 $2^h$个元素。因此，高度为 $h$的堆中，最少元素个数为 $\sum_{i=1}^h{2^{i-1}}+1 = 2^h$；而最多元素个数为 $\sum_{i=1}^{h+1}2^{i-1} =2^{h+1}-1$。
　　
6.1-2 证明：含 $n$个元素的堆的高度为 $⌊{\rm lg}n⌋$。
　　解
　　利用练习6.1-1的结论，高度为 $h$的堆中元素最少有 $2^h$个，最多有 $2^{h+1}-1$个，即 $2^h ≤ n ≤ 2^{h+1}-1$。在 $n$的这个取值范围内，必然有 $h=⌊{\rm lg}n⌋$。
　　
6.1-3 证明：在最大堆的任一子树中，该子树所包含的最大元素在该子树的根结点上。
　　略

6.1-4 假设一个最大堆的所有元素都不相同，那么该堆的最小元素应该位于哪里？
　　解
　　最小元素可以位于任意一个叶子结点上。

6.1-5 一个已排好序的数组是一个最小堆吗？
　　解
　　如果一个数组已按升序排好序，那么它就是一个最小堆。如果数组按降序排序，那么它是一个最大堆。

6.1-6 值为<23, 17, 14, 6, 13, 10, 1, 5, 7, 12>的数组是一个最大堆吗？
　　解
　　如果画出二叉树，我们会发它并不是一个最大堆。
　　

6.1-7 证明：当用数组表示存储 $n$个元素的堆时，叶结点下标分别为 $⌊n/2⌋+1，⌊n/2⌋+2，…，n$。
　　解
　　考虑最后一个结点，其下标为 $n$，它的父结点 $⌊n/2⌋$必然是最后一个非叶结点，而之后的结点必然都为叶结点。所以叶结点下标为 $⌊n/2⌋+1，⌊n/2⌋+2，…，n$。