算法导论 — 思考题15-11 库存规划

（库存规划）Rinky Dink公司是一家制造溜冰场冰面修整设备的公司。这种设备每个月的需求量都在变化，因此公司希望设计一种策略来规划生产，需求是给定的，即它虽然是波动的，但是是可预测的。公司希望设计接下来 $n$个月的生产计划。对第 $i$个月，公司知道需求 $d_i$，即该月能够销售出去的设备的数量。令 $D = \sum_{i=1}^nd_i$ 为后 $n$个月的总需求。公司雇佣的全职员工，可以提供一个月制造 $m$台设备的劳动力。如果公司希望一个月内制造多于 $m$台设备，可以雇佣额外的兼职劳动力，雇佣成本为每制造一台机器付出 $c$美元。而且，如果在月末有设备尚未售出，公司还要付出库存成本。保存 $j$台设备的成本可描述为一个函数 $h(j)，j = 1, 2, …, D$。其中对所有 $1 ≤ j ≤ D$，满足 $h(j) ≥ 0$；对 $1 ≤ j ≤ D-1$，满足 $h(j) ≤ h(j+1)$。
　　设计库存规划算法，在满足所有需求的前提下最小化成本。算法运行时间应为 $n$和 $D$的多项式函数。
　　
　　解
　　根据题意，有以下2点基本要求：
　　1) 要满足 $n$个月的总需求，那么 $n$个月总共要生产 $D$台设备；
　　2) 要满足前 $i$个月 $(1 ≤ i < n)$的需求，那么前 $i$个月生产的设备数量不能少于前 $i$个月的需求之和。
　　用 $cost[i, j]$表示前 $i$个月在总共生产 $j$台设备的前提下的最小成本。如果不考虑每个月的需求，理论上 $j$的取值范围可以是 $0$ ~ $D$。而 $i$的取值范围是 $1$~ $n$。由此可见，我们要求解的子问题的规模为 $O(nD)$。我们最终要求解的是 $cost[n, D]$。下面我们来建立 $cost[i, j]$的递归式。
　　我们用 $D_i$表示前 $i$个月的总需求，即 $D = \sum_{l=1}^id_l$ 。显然有 $D_n = D$。假设第 $i$个月选择生产 $k$台设备，这意味着前 $i-1$个月要生产 $j-k$台设备。第 $i$个月的库存数量为 $j-D_i$，相应的当月库存成本为 $h(j-D_i)$。题目中没有给出 $h(0)$的值，这里我们令 $h(0) = 0$，即在没有库存的情况下库存成本为 $0$。用 $cost_k[i, j]$表示第 $i$个月生产 $k$台设备的情况下，前 $i$个月总共生产 $j$台设备的最小成本。 $cost_k[i, j]$可按下式计算得到。
　　
　　根据上文第2)点要求，有 $j ≥ D_i$并且 $j-k ≥ D_{i-1}$。所以 $j$的取值范围是 $D_i$ ~ $D_n$， $k$的取值范围为 $0$ ~ $(j-D_{i-1})$。我们遍历 $k$的取值范围，选择 $cost_k[i, j]$的最小值。
　　我们还需要特别考虑一下初始情况 $i = 1$。由于是第1个月，所以该月只能生产 $j$台设备。此时 $cost[1, j]$可按下式计算得到。
　　
　　根据以上分析，可以得到以下递归式。
　　
　　在求解 $cost[i, j]$的过程中，用 $p[i, j]$记录下第 $i$个月选择生产的设备数量。
　　
　　前文提到，我们一共要求解 $O(nD)$个子问题。求解每个子问题需要迭代 $O(D)$次。故该算法的运行时间为 $O(nD^2)$。