算法导论 — 思考题 7-1 Hoare划分的正确性

（Hoare划分的正确性）本章中的PARTITION算法并不是其最初的版本。下面给出的是最早由C. R. Hoare所设计的划分算法：
　　
　　a. 试说明HOARE-PARTITION在数组A = {13, 19, 9, 5, 12, 8, 7, 4, 11, 2, 6, 21}上的操作过程，并说明在每一次执行第4~14行while循环时数组元素的值和辅助变量的值。
　　后续的三个问题要求读者仔细论证HOARE-PARTITION的正确性。在这里假设子数组 $A[p..r]$至少包含2个元素，试证明下列问题：
　　b. 下标 $i$和 $j$可以使我们不会访问在子数组 $A[p..r]$以外的数组 $A$的元素。
　　c. 当HOARE-PARTITION结束时，它返回的值 $j$满足 $p ≤ j < r$。
　　d. 当HOARE-PARTITION结束时， $A[p..j]$中的每一个元素都小于或等于 $A[j+1..r]$中的元素。
　　在7.1节的PARTITION过程中，主元（原来存储在 $A[r]$中）是与它所划分的两个分区分离的。与之对应，在HOARE-PARTITION中，主元（原来存储在 $A[p]$中）是存在于分区 $A[p..j]$或 $A[j+1..r]$中的。因为有 $p ≤ j < r$，所以这一划分总是非平凡的。
　　e. 利用HOARE-PARTITION，重写QUICKSORT算法。
　　
　　解
　　a.
　　
　　
　　b.
　　虽然下标 $i$和 $j$分别被初始化为 $p-1$和 $r+1$，但是在第一轮while迭代中， $i$会被先加1，而 $j$会被先减1，这样下标 $i$和 $j$分别从 $p$和 $r$开始。所以在迭代开始，下标 $i$和 $j$没有超出数组范围。
　　由于以首个元素作为划分主元，所以在第一轮while迭代中， $i$会停留在 $p$，而 $j$会一直向左移动，直到遇到一个小于或等于 $x$的元素。下面分两种情况说明：
　　1) 如果 $j$在向左移动的过程中一直没有遇到小于或等于 $x$的元素，那么 $j$会一直向左移动直到 $j = p$为止，因为 $A[p] = x$满足 $j$的停止条件。此时，由于 $i$一直停留在 $p$的位置，所以 $i = j$，故while迭代退出。在这个过程中， $i$和 $j$都没有超出数组 $A[p..r]$的范围。
　　2) 如果 $j$遇到了一个小于或等于 $x$的元素 (该元素不为 $A[p]$)，那么 $A[j]$与 $A[i]$ ( $A[i]$即 $A[p]$) 交换。这说明在下标 $j$的左侧至少有一个小于或等于 $x$的元素，并且在下标 $i$的右侧至少有一个大于或等于 $x$的元素，这可保证 $i$和 $j$在移动过程中不会超出数组范围。
　　
　　c.
　　在第一轮while迭代中，下标 $i$一定会停留在 $p$，而下标 $j$分2种情况：
　　1) 如果 $j$在 $r$位置停留下来了，此时有 $i < j$ (因为已经假设数组元素不少于2个)，那么交换 $A[i]$和 $A[j]$，继续进行第二轮while迭代。在第二轮while迭代中， $j$一定至少向左移动一个位置，故一定有 $j < r$。
　　2) 如果 $j$没有在 $r$位置停留，而是继续向左移动，此时也有 $j < r$。
　　再根据b的结论， $j$不会超出数组范围，故 $j ≥ p$。所以 $j$一定满足 $p ≤ j < r$。
　　
　　d.
　　先给出循环不变式：在每轮while迭代开始之前， $A[p .. i]$中的元素都小于或等于 $x$，并且 $A[j .. r]$中的元素都大于或等于 $x$。这个循环不变式应该不难证明，这里省略证明过程。
　　下面分析while迭代的终结时的情况。在while迭代中，代码第5 ~ 7行的repeat迭代和第8~10行的repeat迭代结束时，必然有 $A[p..i-1]$中的元素都小于或等于 $A[j+1..r]$中的元素。在最后一次while迭代中，repeat迭代结束后，必然有 $i = j$或 $i = j+1$。如果 $i = j$，那么必然有 $A[i] = x$，由于 $A[p..i-1]$中的元素都小于或等于 $A[j+1..r]$中的元素，将 $A[i]$加入 $A[p..i-1]$，于是有 $A[p..i]$ (即 $A[p..j]$) 中的元素都小于或等于 $A[j+1..r]$中的元素。如果 $i = j+1$，那么 $j = i-1$，于是有 $A[p..j]$中的元素都小于或等于 $A[j+1..r]$中的元素。
　　
　　e.
　　

代码链接：https://github.com/yangtzhou2012/Introduction_to_Algorithms_3rd/tree/master/Chapter07/Problem_7-1