算法导论 — 思考题7-4 快速排序的栈深度

（快速排序的栈深度）7.1节中的QUICKSORT算法包含了两个对其自身的递归调用。在调用PARTITION后，QUICKSORT分别递归调用了左边的子数组和右边的子数组。QUICKSORT中的第二个递归调用并不是必须的。我们可以用一个循环控制结构来代替它。这一技术称为尾递归，好的编译器都提供这一功能。考虑下面这个版本的快速排序，它摸拟了尾递归的情况：
　　
　　a. 证明： ${\rm TAIL-RECURSIVE-QUICKSORT}(A, 1, A.length)$能正确地对数组 $A$进行排序。
　　编译器通常使用栈来存储递归执行过程中的相关信息，包括每一次递归调用的参数等。最新调用的信息存在栈的顶部，而第一次调用的信息存在栈的底部。当一个过程被调用时，其相关信息被压入栈中；当它结束时，其信息则被弹出。因为我们假设数组参数是用指针来指示的，所以每次过程调用只需要 $O(1)$的栈空间。栈深度是在一次计算中会用到的栈空间的最大值。
　　b. 请描述一种场景，使得针对一个包含 $n$个元素数组的TAIL-RECURSIVE-QUICKSORT的栈深度是 $Θ(n)$。
　　c. 修改TAIL-RECURSIVE-QUICKSORT的代码，使其最坏情况下栈深度是 $Θ(lgn)$，并且能够保持 $O(n{\rm lg}n)$的期望时间复杂度。
　　
　　解
　　a.
　　TAIL-RECURSIVE-QUICKSORT所做的事情与QUICKSORT完全一样。
　　在 ${\rm QUICKSORT}(A, p, r)$函数中，在递归调用 ${\rm QUICKSORT}(A, p, q-1)$后，紧接着递归调用 ${\rm QUICKSORT}(A, q+1, r)$。即在确定划分子数组后，选递归排序左边的子数组，再递归排序右边的子数组。
　　而在 ${\rm TAIL-RECURSIVE-QUICKSORT}(A, p, r)$函数中，在递归调用 ${\rm TAIL-RECURSIVE -QUICKSORT}(A, p, q-1)$，即排序左边的子数组之后，紧接着让 $p = q+1$，再进入下一轮迭代。在下一轮迭代中，再排序右边的子数组。
　　
　　b.
　　每次递归调用TAIL-RECURSIVE-QUICKSORT都是针对左边的子数组。如果一个数组已经按单调递增顺序排好序，对该数组调用PARTITION后，所得到的 $2$个子数组中，左边的子数组规模为 $n-1$，右边的子数组规模为 $0$。左边规模为 $n-1$的子数组通过递归调用TAIL-RECURSIVE-QUICKSORT来排序。因此，可以得到规模为n的数组的递归栈深度为 $D(n) = D(n-1) + 1$，这个递归式的解为 $Θ(n)$。
　　
　　c.
　　可以考虑这样改进：每次递归调用TAIL-RECURSIVE-QUICKSORT都排序规模较小的子数组。
　　
　　这个算法的最坏情况发生在每次调用PARTITION都产生一个均衡的划分。这种情况下，栈的深度可以表示为 $D(n) = D(n/2) + 1$，其解为 $Θ({\rm lg}n)$。
　　由于这个算法实质上与QUICKSORT一致，所以它的期望时间复杂度依然为 $Θ(n{\rm lg}n)$。
　　
　　代码链接：https://github.com/yangtzhou2012/Introduction_to_Algorithms_3rd/tree/master/Chapter07/Problem_7-4/TailRecursiveQuicksort